مبرهنة ستيوارت

في الهندسة الرياضية، تظهر مبرهنة ستيوارت العلاقة بين أطوال أضلاع مثلث وطول القطعة المستقيمة الواصلة بين رأس من رؤوسه والضلع المقابل لهذا الرأس.

إذا كانت a, b, c أضلاع مثلث ِABC، وكانت p قطعة مستقيمة من الرأس A إلى نقطة تقسم الضلع a إلى y و x عندها تعطى المبرهنة بالشكل التالي:

b^{2} x + c^{2} y = a (p^{2} + x y)

البرهان

b^{2} = p^{2} + y^{2} - 2 p y \cos θ

و $c^{2} = p^{2} + x^{2} - 2 p x \cos (180 - θ)$

بضرب المعادلة الأولى بـ x و المعادلة الثانية بـ y ينتج أن:

b^{2} x = p^{2} x + y^{2} x - 2 p x y \cos θ

$c^{2} y = p^{2} y + x^{2} y - 2 p x y \cos (180 - θ)$

من خواص دالة الجيب التمام أن: $\cos α = - \cos (π - α)$

$\Rightarrow \cos θ = - \cos (180 - θ) \Rightarrow - 2 p x y \cos θ = + 2 p x y \cos (180 - θ)$

و لهذا السبب عند جمع المعادلتين سيختفي $- 2 p x y \cos θ, - 2 p x y \cos (180 - θ)$ وسيبقى:

b^{2} x + c^{2} y = p^{2} x + p^{2} y + y^{2} x + x^{2} y

\Rightarrow b^{2} x + c^{2} y = p^{2} (x + y) + x y (y + x)

$x + y = a ∵$

\Rightarrow b^{2} x + c^{2} y = p^{2} a + x y a = a (p^{2} + x y)

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.