مبرهنة منصف الزاوية

ملف:منصف الزاوية.png

AD منصف للزاوية A

في الهندسة الرياضية، مبرهنة منصف زاوية هي مبرهنة في المثلث تعطي العلاقة بين طول الضلع المقابل لأي زاوية إلى طول الضلعين الباقيين.

في المثلث ABC ، إذا كان AD منصف للزاوية A وكانت D نقطة تقاطع AD مع BC فإن:

$\frac{BD}{DC}=\frac{BA}{AC}$

تعميم المبرهنة

في المثلث ABC، إذا كان AD يقطع BC في D ويقسم الزاوية A إلى $\alpha$ و $\beta$ فإن:

$\frac{BD}{DC}=\frac{BA\sin \beta }{AC\sin \alpha }$

إذا كانت $\beta =\alpha$ سنصل إلى مبرهنة منصف الزاوية.

البراهين

البرهان الأول

ملف:Triangle ABC with bisector 2.png

المثلث ABC

باستخدام قوانين مساحة المثلث:

1- مساحة المثلث ADC

$\frac{1}{2}AE.DC=\frac{1}{2}AD.AC\sin \alpha =$

2- مساحة المثلث ADB

$\frac{1}{2}AE.BD=\frac{1}{2}AD.BA\sin \beta =$

بقسمة 2 على 1 نصل إلى:

$\frac{BD}{DC}=\frac{BA\sin \beta }{AC\sin \alpha }$

و إذا كان AD منصف الزاوية A ستحقق المبرهنة و ذلك لأن $\beta =\alpha$.

البرهان الثاني

ملف:منصف الزاوية.png

AD منصف للزاوية A

باستخدام قانون الجيوب:

في المثلث ADC:

$\frac{AC}{\sin ADC}=\frac{DC}{\sin \alpha }$

$\sin ADC=\frac{AC\sin \alpha }{DC}$

في المثلث ADB:

$\frac{BA}{\sin ADB}=\frac{DB}{\sin \beta }$

$\sin ADB=\frac{BA\sin \beta }{DB}$

$\mathrm{\angle }ADC=180-\mathrm{\angle }ADB\because$ و (Sin x = Sin (180-x.

$\sin ADB=\sin ADC\Leftarrow$

$\frac{BA\sin \beta }{DB}=\frac{AC\sin \alpha }{DC}\Leftarrow$

$\frac{BD}{DC}=\frac{BA\sin \beta }{AC\sin \alpha }\Leftarrow$

و إذا كانت $\beta =\alpha$ سنصل إلى مبرهنة منصف الزاوية.

البرهان الثالث

ملف:Triangle ABC with bisector 3.png

المثلث ABC

برهان هندسي، باستخدام تشابه المثلثات:

ِAD منصف الزاوية A، نسقط عمود من B على AD يقطعه في F، ونسقط عمود من C على امتداد AD يقطعه في E.

المثلث AEC يشابه المثلث AFB

( لأن E و F قائمتان و $\beta =\alpha$ لأن AD منصف A)

$\Rightarrow \frac{FB}{EC}=\frac{BA}{AC}$

المثلث DEC يشابه المثلث DFB

( لأن E و F قائمتان و$\mathrm{\angle }EDC=\mathrm{\angle }FDB$ للتقابل بالرأس)

$\Rightarrow \frac{FB}{EC}=\frac{BD}{DC}$

$\Rightarrow \frac{BA}{AC}=\frac{BD}{DC}$

وهو المطلوب إثباته .

وصلات خارجية

• نظرية منصف الزاوية
• منصف الزاوية

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

Angle bisector theorem]] es:Teorema de la bisectriz he:משפט חוצה הזווית it:Teorema della bisettrice km:ទ្រឹស្តីបទកន្លះបន្ទាត់ពុះមុំ nl:Stelling van de bissectricehoek pl:Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie ro:Teorema bisectoarei ru:Теорема о биссектрисе sl:Izrek o simetrali kota ta:கோண இருசமவெட்டித் தேற்றம் uk:Теорема про бісектрису zh:角平分線定理