قوانين مساحة المثلث

في الهندسة الرياضية، تعطى مساحة المثلث بالقانون:

المساحة = ½ القاعدة × الارتفاع

يقصد بالقاعدة أحد أضلاع المثلث و يقصد بالارتفاع العمود النازل من الرأس على القاعدة أو على امتدادها.

لاثبات ما سبق يحول المثلث إلى متوازي أضلاع مساحته ضعف مساحة المثلث،

و بعدها يحول إلى مستطيل طوله قاعدة المثلث و عرضه ارتفاع المثلث.

حساب مساحة المثلث هندسيا

و من هذا القانون تستنتج قوانين مساحة المثلث الأخرى.

قوانين المساحة للمثلث

القانون الأول

ملف:Sine law.png

المثلث ABC.

يربط بين مساحة المثلث و جيب إحدى زواياه.

$\underline{A r e a_{A B C} = \frac{1}{2} a b \sin C}$

البرهان:

في المثلث ABC: القطعة المستقيمة AN ارتفاع و a,b,c أطوال أضلاع المثلث.

المثلث ANC مثلث قائم في N:

$\Rightarrow S i n C = \frac{A N}{b}$

(جيب الزاوية يساوي المقابل على الوتر في المثلث القائم)

$\Rightarrow A N = b \sin C$

$A r e a_{A B C} = \frac{1}{2} a . A N = \frac{1}{2} a b \sin C$

القانون الثاني

ملف:Circumcentre.svg

دائرة محيطة بالمثلث

يوضح علاقة مساحة المثلث بنصف قطر الدائرة المحيطة به R.

$\underline{A r e a_{A B C} = \frac{a b c}{4 R}}$

البرهان:

باستخدام قانون الجيوب:

$\frac{c}{\sin C} = 2 R$

$\Rightarrow s i n C = \frac{c}{2 R}$

$A r e a_{A B C} = \frac{1}{2} a b \sin C = \frac{a b c}{4 R}$

القانون الثالث

ملف:الدائرة المحيطة.png

دائرة داخلية في المثلث ABC

يربط بين مساحة المثلث و نصف قطر الدائرة الداخلية r و نصف المحيط s.

$\underline{A r e a_{A B C} = r s}$

البرهان:

P مركز الدائرة الداخلية للمثلث

$A r e a_{A B C} = A r e a_{B P C} + A r e a_{A P C} + A r e a_{A P B}$

باستخدام "المساحة = ½ القاعدة × الارتفاع" ثلاث مرات:

$A r e a_{A B C} = \frac{1}{2} a r + \frac{1}{2} b r + \frac{1}{2} c r$

$\Rightarrow A r e a_{A B C} = r \frac{a + b + c}{2} = r s$

القانون الرابع

يعرف بصيغة هيرو:

$\underline{A r e a_{A B C} = \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)}}$

القانون الخامس

يعرف بصيغة جيوشاو:

$\underline{A r e a_{A B C} = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} c^{2} - {(\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2})}^{2}}}$

وصلات خارجية

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

Triangle#Computing_the_area_of_a_triangle]]

مجهول

بحث

قوانين مساحة المثلث

أسماء النطاقات

المزيد

إجراءات الصفحة

محتويات

قوانين المساحة للمثلث

القانون الأول

القانون الثاني

القانون الثالث

القانون الرابع

القانون الخامس

اقرأ أيضاً

وصلات خارجية

تصفح

الموسوعة

تصفح

المشاركة والمساعدة

ادوات ويكي

ادوات ويكي

مجهول

بحث

قوانين مساحة المثلث

قوانين المساحة للمثلث

القانون الأول

القانون الثاني

القانون الثالث

القانون الرابع

القانون الخامس

اقرأ أيضاً

وصلات خارجية

تصفح

ادوات ويكي

أدوات الصفحات

تصنيفات