قطع مكافئ

صورة للقطع المكافئ

في الرياضيات، القطع المكافئ (ويقال له الشلجم والصواب الشلجمي أي ذو شكل الشلجم) هو قطع مخروطي، ينشأ من قَطْع سطح مخروطي دائري قائم بمستو موازٍ لراسم هذا السطح (أي الخط المولد له). بمعلومية نقطة (البؤرة) "Focus" وخط مستقيم مقابل في المستوى (الدليل) "directrix"، يكون القطع المكافئ هو المحل الهندسي للنقاط الواقعة في هذا المستوى والتي تبعد عن البؤرة بمسافة مساوية لبعدها عن الدليل. الخط العمودي على الدليل ويمر بالبؤرة يسمى "محور التماثل"، ونقطة تقاطع القطع المكافئ مع محور التماثل تسمى رأس القطع المكافئ "vertex". رأس القطع المكافئ هي نقطة تقع عليه يحدث عندها تغير في اتجاه وأطراد الدالة (أي فترات االتزايد والتناقص) ويكون عندها ميل المماس مساويًا للصفر. قد يكون القطع المكافئ مفتوحًا إلى أعلى أو مفتوحًا إلى أسفل أو إلى اليمين أو اليسار.

للقطوع المكافئة أهمية كبيرة وتطبيقات متعددة، بداية من مرايا السيارات ومصابيحها الأمامية إلى تصميم الصواريخ البالستية. كما أن لها استخدامات كثيرة في الفيزياء والهندسة ومجالات أخرى عديدة.

تاريخ

ملف:Leonardo parabolic compass.JPG

فرجار رسم القطع المكافئ من تصميم ليوناردو دافنشي.

أقدم من عملوا على دراسة القطوع المخروطية، طبقًا لما هو معروف لدينا، هو منانخيموس في القرن الرابع ق.م. فقد أوجد طريقة لحل مسألة مضاعفة المكعب باستخدام القطوع المكافئة، وقد كان من الصعب حل مثل هذه المسألة بإنشاءات الفرجار والمسطرة. أما أبولونيوس فقد اكتشف العديد من خصائص القطاعات المخروطية، كما يعود إليه الفضل في تسمية هذا النوع من القطوع بالمكافئ. خاصية البؤرة-الدليل للقطع المكافئ، يعود الفضل فيها إلى بابوس السكندري.

أوضح جاليليو أن المقذوفات تتخذ مسارًا على هيئة قطع مكافئ؛ ذلك نتيجة انتظام عجلة الجاذبية الأرضية.

قبل اختراع التليسكوب العاكس كانت فكرة تكون صورة من خلال مرآة القطع المكافئ؛ معروفة. في النصف الأول من القرن السابع عشر اقترح مجوعة من الرياضياتين، أمثال رينيه ديكارت ومارين مارسين وجيمس جريجوري، تصميمات لمرايا القطع المكافئ. لكن إسحاق نيوتن تحاشى استخدام هذا النوع من المرايا عندما قام ببناء أول تليسكوب عاكس عام 1668م، وذلك لصعوبة تصنيعها مقارنة بالمرايا الكرية. في الوقت الراهن تستخدم عواكس القطع المكافئ في أغلب التليسكوبات العاكسة الحديثة، وأطباق القمر الصناعي، ومستقبلات الرادار.

المعادلة في الإحداثيات الديكارتية

إذا ما فرضنا أن دليل القطع المكافئ هو الخط x = −p، وأن بؤرته هي النقطة (p, 0). وإذا كانت (x, y) نقطة تنتمي للقطع المكافئ وأنها، من تعريف بابوس للقطع المكافئ، تبعد عن البؤرة مسافة مساوية لبعدها عن الدليل، هذا يعني أن:

x + p = \sqrt{(x - p)^{2} + y^{2}} .

بتربيع طرفي المعادلة وبعد التبسيط نحصل على

y^{2} = 4 p x

وهي معادلة القطع الكافئ في صورة من أبسط صوره، ويلاحظ أن محور هذا القطع أفقي. ولتعميم هذه المعادلة نتخيل أن القطع المكافئ أزيح بحيث يكون رأسه هو النقطة (h, k)، بالتالي تصير معادلته

(y - k)^{2} = 4 p (x - h)

بتبديل الإحداثيات x و y نحصل على المعادلة المقابلة للقطع المكافئ رأسي المحور

(x - h)^{2} = 4 p (y - k) .

المعادلة الأخيرة يمكن كتابتها على الصورة

y = a x^{2} + b x + c

وبالتالي فإن أي دالة في x إذا كانت كثيرة حدود من الدرجة الثانية فهي قطع مكافئ ذو محور رأسي.

وللتعميم أكثر نقول أن القطع المكافئ هو منحن في المستوى الديكارتي يُعرف بالمعادلة غير القابلة للاختزال والتي على الصورة:

A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0

بحيث أن

B^{2} = 4 A C,

حيث كل المعاملات حقيقية، وكل من A و B لا يساويان الصفر، ويوجد أكثر من حل وحيد، بحيت تكون مجموعة الحل أزاوج مرتبة على الصورة (x, y)، وهي جميع النقاط الواقعة على المنحنى. كما أن المعادلة غير قابلة للاختزال، بمعنى أنه لا يمكن تحليلها إلى حاصل ضرب معادلتين لا يُشترط أن تكونا خطيتين.

تعريفات هندسية أخرى

ملف:Parabolaconstruct.svg

القطوع المكافئة هي قطوع مخروطية.

القطع المكافئ يمكن تعريفه باعتباره قطع مخروطي اختلافه المركزي يساوي الواحد الصحيح؛ نتيجة لذلك تكون كل القطوع المكافئة متشابهة، بمعنى أن لها نفس الشكل مهما تغير حجمها. القطع المكافئ أيضًا يعتبر نهاية قطوع ناقصة متتابعة، إحدى بؤرتيهم ثابتة والأخرى حرة لتتحرك بعيدًا في اتجاه واحد، بهذا المنطق يمكن النظر إلى القطع المكافئ باعتباره قطع ناقص إحدى بؤرتيه تقع عند ما لا نهاية. القطع المكافئ هو أيضًا تحول عكسي للمنحنى القلبي.

للقطع المكافئ محور تماثل عاكس وحيد، يمر ببؤرته ويتعامد على دليله، ونقطة تقاطع هذا المحور مع القطع المكافئ تدعى رأس القطع المكافئ. دوران القطع المكافئ حول محوره في الإحداثيات ثلاثية الأبعاد يولد شكلًا يعرف بالسطح المكافئي الدوراني.

معادلات

إحداثيات ديكارتية

محور تماثل رأسي

(x - h)^{2} = 4 p (y - k)

y = \frac{(x - h)^{2}}{4 p} + k

y = a x^{2} + b x + c

حيث

a = \frac{1}{4 p}; b = \frac{- h}{2 p}; c = \frac{h^{2}}{4 p} + k;

h = \frac{- b}{2 a}; k = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}

.

الصورة البارمترية:

x (t) = 2 p t + h; y (t) = p t^{2} + k

محور تماثل أفقي

(y - k)^{2} = 4 p (x - h)

x = \frac{(y - k)^{2}}{4 p} + h;

x = a y^{2} + b y + c

حيث

a = \frac{1}{4 p}; b = \frac{- k}{2 p}; c = \frac{k^{2}}{4 p} + h;

h = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}; k = \frac{- b}{2 a}

.

الصورة البارمترية:

x (t) = p t^{2} + h; y (t) = 2 p t + k

قطع مكافئ عام

الصورة العامة للقطع المكافئ هي

(A x + B y)^{2} + C x + D y + E = 0

هذه النتيجة مشتقة من المعادلة المخروطية العامة المذكور بأعلى:

A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0

وبما أنه للقطع المكافئ يكون

B^{2} = 4 A C

.

معادلة القطع المكافئ العام الذي بؤرته (F(u, v ودليله على الصورة

n_{1} x + n_{2} y + c = 0

هي

\frac{| n_{1} x + n_{2} y + c |}{\sqrt{{n_{1}}^{2} + {n_{2}}^{2}}} = \sqrt{{(x - u)}^{2} + {(y - v)}^{2}}

الوتر البؤري العمودي والإحداثيات القطبية

في الإحداثيات القطبية، القطع المكافئ الذي بؤرته في نقطة الأصل ودليله موازٍ لمحور الصادات تكون معادلته

r (1 + \cos θ) = l

حيث l هو نصف الوتر البؤري العمودي semilatus rectum (المسافة من البؤرة إلى القطع المكافئ مقاسة عبر خط عمودي على محور تماثله). لاحظ أن هذا مساوٍ لضعف المسافة من البؤرة إلى رأس القطع المكافئ أو المسافة العمودية من رأس المنحنى إلى الوتر البؤري العمودي latus rectum.

الوتر البؤري العمودي هو الوتر المار بالبؤرة وفي نفس الوقت يتعامد على المحور وطوله يساوي 2l.

رأس القطع المكافئ

الإحداثي السيني لرأس القطع المكافئ هو $x = - \frac{b}{2 a}$ ، ويمكن الحصول عليه عن طريق اشتقاق المعادلة الأصلية للقطع $y = a x^{2} + b x + c$ ، وبوضع قيمة المشتقة $d y / d x = 2 a x + b$ بصفر (لأن رأس القطع المكافئ هو نقطة حرجة؛ بمعنى أن ميل المماس عنده مساوٍ للصفر)، بحل المعادلة نحصل على الإحداثي السيني لرأس المنحنى، أما الإحداثي الصادي فيمكن الحصلول عليه بالتعويض بقيمة الإحداثي السيني في المعادلة الأصلية كالتالي:

y = a {(- \frac{b}{2 a})}^{2} + b (- \frac{b}{2 a}) + c

وبالتبسيط:

= \frac{a b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{b^{2}}{2 a} + c

= \frac{b^{2}}{4 a} - \frac{2 \cdot b^{2}}{2 \cdot 2 a} + c \cdot \frac{4 a}{4 a}

= \frac{- b^{2} + 4 a c}{4 a}

= - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} = - \frac{D}{4 a}

وبالتالي نقطة رأس القطع المكافئ هي

(- \frac{b}{2 a}, - \frac{D}{4 a})

اشتقاق إحداثيات البؤرة ومعادلة الدليل

ملف:Parabola with focus and directrix.svg

منحنى مكافئي يوضح الدليل (L) والبؤرة (F)، ويتضح أن المسافة من أي نقطة P_n إلى البؤرة هي دائمًا نفس المسافة من P_n إلى أي نقطة Q_n تقع على الدليل أسفلها مباشرة.

ملف:Parabola with focus and arbitrary line.svg

منحنى مكافئي يوضح خط اختياري (L), والبؤرة (F), ورأس القطع المكافئ (V). الخط L هو خط اختياري عمودي على محور التماثل من جهة البؤرة، ويبعد عن V أكثر مما يبعد عن F ، طول أي خط F - P_n - Q_n متساو، هذا يعني أن القطع المكافئ هو قطع ناقص إحدى يؤرتيه تقع عند مالا نهاية.

لتحديد إحداثيات النقطة البؤرية لقطع مكافئ بسيط ذي محور تماثل موازٍ لمحور الصادات (محور تماثل رأسي)، ورأسه يقع عند نقطة الأصل (0,0)، ولتكن معادلته على الصورة:

y = a x^{2}

فإن أي نقطة على القطع المكافئ ستقع على مسافة من النقطة البؤرية (0,f) مساوية للمسافة بينها وبين الدليل L، الذي يتعامد على محور تماثل القطع المكافئ (في هذه الحالة يوزاي محور السينات)، ويمر بالنقطة (0,f-)، وبالتالي فإن أي نقطة (P=(x,y على القطع المكافئ ستكون على مسافة متساوية من كلتا النقطتين (0,f) و (x,-f).

أي خط FP يصل بين البؤرة وأي نقطة على القطع المكافئ يتساوى في الطول مع أي خط QP مرسوم عموديًا من هذه النقطة الواقعة على القطع المكافئ إلى الدليل ويقطعه في النقطة Q.

لنتخيل معًا المثلث القائم الذي وتره FP، وطولا ضلعي قائمته هما: x و f-y (المسافة الرأسية بين F و P)، يكون طول وتره

‖ F P ‖ = \sqrt{x^{2} + (f - y)^{2}}

(لاحظ أن ²(f-y) و²(y-f) يعطيان نفس الناتج لأنهما مربعان.)

طول الخط QP يساوي المسافة الرأسية بين النقطة P ومحور السينات (أي المسافة y) بالإضافة إلى المسافة الرأسية من محور السينات إلى الدليل (أي المسافة f).

‖ Q P ‖ = f + y

هاتان القطعتان المستقيمتان متساويتان في الطول، وكما ذكر سابقًا y=ax² وبالتالي

‖ F P ‖ = ‖ Q P ‖

\sqrt{x^{2} + (f - a x^{2})^{2}} = f + a x^{2}

بتربيع الطرفين

x^{2} + (f^{2} - 2 a x^{2} f + a^{2} x^{4}) = (f^{2} + 2 a x^{2} f + a^{2} x^{4})

بطرح الحدود المتشابهة من الطرفين

x^{2} - 2 a x^{2} f = 2 a x^{2} f

x^{2} = 4 a x^{2} f

بقسمة x² من الطرفين (بفرض أن x لا تساوي الصفر)

1 = 4 a f

f = \frac{1}{4 a}

وبالتالي للقطع المكافئ الذي على الصورة f(x)=x²، المعامل a يساوي 1، وبالتالي فإن النقطة البؤرية F هي (0,¼)

كما ذكر أعلاه، هذا هو اشتقاق النقطة البؤرية لقطع مكافئ بسيط، رأسه في نقطة الأصل ويتماثل حول محور الصادات، أما بالنسبة لأي قطع مكافئ معمم، معادلته على الصورة القياسية

y = a x^{2} + b x + c

,

بؤرته تقع عند النقطة

(\frac{- b}{2 a}, \frac{- b^{2}}{4 a} + c + \frac{1}{4 a})

والتي يمكن كتابتها على الصورة

(\frac{- b}{2 a}, c - \frac{b^{2} - 1}{4 a})

والدليل يعطى بالعلاقة

y = \frac{- b^{2}}{4 a} + c - \frac{1}{4 a}

والتي يمكن أن تكتب على الصورة

y = c - \frac{b^{2} + 1}{4 a}

مجهول

بحث

قطع مكافئ

أسماء النطاقات

المزيد

إجراءات الصفحة

محتويات

تاريخ

المعادلة في الإحداثيات الديكارتية

تعريفات هندسية أخرى

معادلات

إحداثيات ديكارتية

محور تماثل رأسي

محور تماثل أفقي

قطع مكافئ عام

الوتر البؤري العمودي والإحداثيات القطبية

رأس القطع المكافئ

اشتقاق إحداثيات البؤرة ومعادلة الدليل

اقرأ أيضا

تصفح

الموسوعة

تصفح

المشاركة والمساعدة

ادوات ويكي

ادوات ويكي

مجهول

بحث

قطع مكافئ

تاريخ

المعادلة في الإحداثيات الديكارتية

تعريفات هندسية أخرى

معادلات

إحداثيات ديكارتية

محور تماثل رأسي

محور تماثل أفقي

قطع مكافئ عام

الوتر البؤري العمودي والإحداثيات القطبية

رأس القطع المكافئ

اشتقاق إحداثيات البؤرة ومعادلة الدليل

اقرأ أيضا

تصفح

ادوات ويكي

أدوات الصفحات

تصنيفات