حسابيات توافقية

في الرياضيات وبالضبط في مجال النظرية الجبرية للأعداد ، الحسابيات النمطية (بالإنكليزية: modular arithmetics) هي مجموعة من الطرق التي تتيح حل بعض المسائل الخاصة بالأعداد الصحيحة و من ضمنها الطبيعية. وهي ترتكز على دراسة الباقي الحاصل من القسمة الإقليدية.

استعمالات

في الرياضيات الأساسية, هذا المفهوم قليل الاستعمال. التوضيف الأكثر استعمالا هو المبرهنة الجيرية للأعداد, التي تتضمن مجالا أكثر توسعا, تتضمن مثلا مفاهيم الأعداد الجبرية ومبرهنة غالوا.

في الرياضيات التطبيقية, هذه العبارة لها استعمالات مكثفة في أساسيات الرياضيات في مختلف مجالات نظرية المعلوميات : التشفير, نظرية الترميز والمعلوميات. لعدد من الأدوات وخوارزميات داخل هذا المجال نجد اختبار الإوالية,التفكيك إلى جداء عوامل أولية, استعمال مميزات مجموعة مثلا بالنسبة لتحويل فوريي المتقطع أو دراسة الخارج أو الخاصة بالأعداد الطبيعية, كما في دوال حدودية.

حسب مختلف العلماء والمألفين وحسب مجال التطبيق, تعتبر هذه التمديدات, إما جزء من الحسابيات النمطية, أو تطبيقات, أو غير مصنفة. في صيغتها البسيطة, تحمل في بعض الأحيان حسابيات المنبه. المفهوم نظام نمطي مستعمل في الحسابيات النمطية في مجموعات أعداد غير الأعداد الطبيعية.

وسائل الحسابيات النمطية

التقارب والأعداد الطبيعية

المقالة الرئيسية لهذا التصنيف، والتي يجب أن يكون عنوانها تقارب الأعداد الطبيعية، غير موجودة. مساعدتكم في إنشاء هذه المقالة مرحَّب بها.

المثال التاريخي حسابيات نمطية يرتكز على أعداد طبيعية. العدد n ثابت, الحياب النمطي n ترتكز على تحديد كل الأعداد الطبيعية لباقي قسمتها على n ; هذا يمكن أن يظهر جليا في مثال حسابيات المنبه, الذي يوافق حالة n=12 : العقرب الصغير يوجد في نفس الموضع في لحظتين تفصل بينهما اثنتا عشر ساعة, وبهذا تصير الساعة 1 كالساعة 13. للحصول على حساب من نوع هذه المجموعة, علينا التأكد من كون عمليـّـتي الجمع والضرب متكافئة مع تعريفهما.

بالنسبة لـ كارل فريدرش غاوس فقد أضاف تحليل بنية هذه المجموعة, والمسماة حلقة ل تقارب ورمزها Z/nZ. تهتم أولا بدراسة عملية الجمع, الذي يعرف ب مجموعة سيكلية ذات المولد 1 ; ثم عملية الضرب, المستقل عن خصائص التطابق (congruency) . إذا كان هذا عددا أوليا, نحصل على حقل . هذه المقاربة تسهل عملية المبرهنة في مجال الحسابيات. المثالان التاريخيان من كتاب Disquisitiones arithmeticae تبع الرياضياتي الألماني غاوس هما مبرهنة ويلسون والبرهنة على مبرهنة فيرما الصغرى .

الحسابيات النمطية ، في حالة لم يكن الترديد عددا أوليا ، أكثر تعقيدا. مبرهنة الباقي الصيني تسمح بتنوير البنية. الحلقة غير داخلية, حيث يوجد قواسم الصفر, وهي أعداد إذا ضربت في أعداد غير منعدمة أعطت كنتيجة العدد صفر. عدد العناصر المقلوبة معطاة بواسطة مؤشر أويلر. وهي تتيح مثلا, تعميم مبرهنة فيرما الصغرى.

تلميحة تمهيدية للتطبيق

أساسيات

الحسابيات النمطية تعتبر نظام حسابي للأعداد الصحيحة يعتمد على تكرار الأعداد بشكل نمطي لدى بلوغها قيمة نمطية (modulus) معينة ، و هي تـُـخـْـتـَـزَل بالتعبير $mod$ . مرتبط بذلك الرياضياتيون يتكلمون عن " تطابق " (congruency) .

على فرض لدينا عدد صحيح موجب $n$ وعدد صحيح $a$ فإننا بقسمة $a$ على $n$ نحصل على عدد صحيح $q$ هو ناتج القسمة وعدد صحيح $r$ هو باقي القسمة بحيث يحققان العلاقة التالية:

$a=qn+r0\le r<n;q=\lfloor a/n\rfloor$

حيث الصيغة $\lfloor x\rfloor$ تعني أكبر عدد صحيح أصغر أو يساوي $x$

يرمز إلى عملية حساب باقي القسمة بـ mod حيث نكتب $r=amodn$ وبالتالي:

$a=\lfloor a/n\rfloor \times n+(amodn)$

أمثلة:

$5mod7=5$

$0mod7=0$

$7mod7=0$

$11mod7=4$

$-11mod7=3$

نقول عن عددين صحيحين $a$ و$b$ بانهما متوافقان ببقية $n$ إذا تحقق $(amodn)=(bmodn)$ ونرمز لذلك بـ $a\equiv bmodn$

خصائص عملية حساب باقي القسمة

• $a\equiv bmodn$ فقط إذا كان، $n|(a-b)$
• $a\equiv bmodn\Rightarrow b\equiv amodn$
• $a\equiv bmodn\wedge b\equiv cmodn\Rightarrow a\equiv cmodn$

مصادر و مراجع

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

ca:Congruència cs:Kongruence de:Kongruenzrelation Congruence relation]] es:Congruencia (teoría de números) eu:Kongruentzia (zenbaki-teoria) fi:Kongruenssi fr:Arithmétique modulaire he:קונגרואנציה hu:Kongruencia io:Kongruo it:Aritmetica modulare ja:合同式 la:Congruentia nl:Congruentie (rekenkunde) pl:Kongruencja (algebra) pt:Aritmética modular ru:Конгруэнция sk:Relácia kongruencie (algebra) sl:Kongruenca sr:Модуларна аритметика sv:Kongruensrelation ta:சமானம், மாடுலோ n th:เลขคณิตมอดุลาร์ vi:Đồng dư zh:同餘關係