دالة زائدية

ملف:Hyperbolic functions.svg

شعاع مار بنقطة الأصل ويقطع القطع الزائد $$\begin{gathered} x^2 \\ - \\ {y}^2 \\ = \\ 1 \end{gathered}$$ في النقاط $(\cosh a,\sinh a)$, حيث $a$ تكون المساحة بين الشعاع, وانعكاسه بالنسبه للمحور $x$, والقطع الزائد (إنظر صورة متحركة للمقارنة مع الدوال المثلثية.

الدوال الزائدية أو الدوال الزائدة في الرياضيات هي تلك الدوال المماثلة للدوال المثلثية أو الدائرية. تشكل الدوال الاتية الأساس في الدوال الزائدية:

• دالة الجيب الزائدي, sinh أو sh
• جيب التمام الزائدي, cosh أو ch
• الظل الزائدي, tanh أو th

كما يوجد لهذه الدوال معكوس كما في المثلثية:

• معكوس الجيب الزائدي, asinh
• معكوس جيب التمام الزائدي, acosh
• معطوس الظل الزائدي, atanh

سبب التسمية

تعود تسميتها بالزائدية لأنها دوال مشتقة من دالة القطع الزائد ولأن لها خواص شبيهة جدا بالدوال المثلثية كما سيتبين لاحقا. كما نعلم من الدائرة, تمثل النقاط $cos(t),sin(t)$ دائرة الوحدة (نصف قطرها = 1), بالمثل فإن النقاط $cosh(t),sinh(t)$ تشل النصف الأيمن من القطع الزائد. تأخذ الدوال الزائدية قيما حقيقية إذا كانت وسائطها حقيقية الزاوية الزائدية. في التحليل المركب, هي ببساطة دوال نسبية أسية. تم تقديم هذه الدوال من قبل الرياضي السويسري جوهان هنرك لامبرت.

تعبيرات جبرية قياسية

ملف:Sinh cosh tanh.svg

sinh, cosh وtanh

ملف:Csch sech coth.svg

csch, sech وcoth

الدوال المثلثية هي:

• الجيب الزائدي:

$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=-\mathrm{i}\sin \mathrm{i}x$

• جيب التمام الزائدي:

$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cos \mathrm{i}x$

• الظل الزائدي:

$\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{\frac{e^x-e^{-x}}{2}}{\frac{e^x+e^{-x}}{2}}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=-\mathrm{i}\tan \mathrm{i}x$

• ظل التمام الزائدي:

$\coth x=\frac{\cosh x}{\sinh x}=\frac{\frac{e^x+e^{-x}}{2}}{\frac{e^x-e^{-x}}{2}}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}=\mathrm{i}\cot \mathrm{i}x$

• القاطع الزائدي:

$\mathrm{sech}x=\frac{1}{\cosh x}=\frac{2}{e^x+e^{-x}}=\sec \mathrm{i}x$

• قاطع التمام الزائدي:

$\mathrm{csch}x=\frac{1}{\sinh x}=\frac{2}{e^x-e^{-x}}=\mathrm{i}\csc \mathrm{i}x$

حيث $\mathrm{i}$ وحدة تخيلية معرفة بأنها ${\mathrm{i}}^2=-1$.

يمكن وضع الدوال الزائدية بالصور المعقدة كما في صيغة إيولر. لاحظ أنه من التعريف, ${\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}}^{2}x$ تعني $(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}x{)}^2$, ليس $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}x)$; وبالمثل للداول الزائدية الأخرى والأسات الموجبة.

علاقات مفيدة

$\sinh (-x)=-\sinh x$

$\cosh (-x)=\cosh x$

وعليه:

$\tanh (-x)=-\tanh x$

$\coth (-x)=-\coth x$

$\mathrm{sech}(-x)=\mathrm{sech}x$

$\mathrm{csch}(-x)=-\mathrm{csch}x$

يمكن ملاحظة أن $coshx$ و$\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}x$ هي دوال زوجية; والأخرىات هي دوال فردية.

$\mathrm{arcsech}x=\mathrm{arccosh}\frac{1}{x}$

$\mathrm{arccsch}x=\mathrm{arcsinh}\frac{1}{x}$

$\mathrm{arccoth}x=\mathrm{arctanh}\frac{1}{x}$

الجيب الزائدي جيب التمام الزائدي يحقق المتطابقة:

${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1$

وهي مشابهة لمتطابقة فيثاغورث.

الظل الزائدي هو حل لمعادلة غير خطية هي مسألة القيمة الحدية:

$\frac{1}{2}{f}^{″}=f^3-f;f(0)=f^{\prime }(\mathrm{\infty })=0$

دوال المعكوس في صور لوغاريتمية

$\mathrm{arcsinh}x=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$

$\mathrm{arccosh}x=\ln (x+\sqrt{x^2-1});x\ge 1$

$\mathrm{arctanh}x=\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x};\left|x\right|<1$

$\mathrm{arcsech}x=\ln \frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x};0<x\le 1$

$\mathrm{arccsch}x=\ln (\frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1+x^2}}{\left|x\right|})$

$\mathrm{arccoth}x=\frac{1}{2}\ln \frac{x+1}{x-1};\left|x\right|>1$

المشتقات

$\frac{d}{dx}\sinh (x)=\cosh (x)$

$\frac{d}{dx}\cosh x=\sinh x$

$\frac{d}{dx}\tanh (x)=1-{\tanh }^{}(x)={\text{sech}}^2(x)=1/{\cosh }^{}(x)$

$\frac{d}{dx}\coth (x)=1-{\coth }^{}(x)=-{\text{csch}}^2(x)=-1/{\sinh }^{}(x)$

$$\begin{gathered} \frac{d}{dx} \\ \text{csch(x)}=-\coth (x) \\ \text{csch(x)} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{d}{dx} \\ \text{sech(x)}=-\tanh (x) \\ \text{sech(x)} \end{gathered}$$

$\frac{d}{dx}\left({\sinh }^{-1}x\right)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

$\frac{d}{dx}\left({\cosh }^{-1}x\right)=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$

$\frac{d}{dx}\left({\tanh }^{-1}x\right)=\frac{1}{1-x^2}$

$\frac{d}{dx}\left({\mathrm{csch}}^{-1}x\right)=-\frac{1}{\left|x\right|\sqrt{1+x^2}}$

$\frac{d}{dx}\left({\mathrm{sech}}^{-1}x\right)=-\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{d}{dx}\left({\coth }^{-1}x\right)=\frac{1}{1-x^2}$

تكاملات قياسية

طالع أيضاً: قائمة تكاملات الدوال الزائدية

$\int \sinh axdx=\frac{1}{a}\cosh ax+C$

$\int \cosh axdx=\frac{1}{a}\sinh ax+C$

$\int \tanh axdx=\frac{1}{a}\ln (\cosh ax)+C$

$\int \coth axdx=\frac{1}{a}\ln (\sinh ax)+C$

$\int \frac{du}{\sqrt{a^2+u^2}}={\sinh }^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C$

$\int \frac{du}{\sqrt{u^2-a^2}}={\cosh }^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C$

$\int \frac{du}{a^2-u^2}=\frac{1}{a}{\tanh }^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C;u^2<a^2$

$\int \frac{du}{a^2-u^2}=\frac{1}{a}{\coth }^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C;u^2>a^2$

$\int \frac{du}{u\sqrt{a^2-u^2}}=-\frac{1}{a}{\mathrm{sech}}^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C$

$\int \frac{du}{u\sqrt{a^2+u^2}}=-\frac{1}{a}{\mathrm{csch}}^{-1}\left|\frac{u}{a}\right|+C$

في التعابير السابقة, يدعى 'C بثابت التكامل.

تعابير متسلسلات تايلور

من الممكن نشر التعابير السابقة في صورة متسلسلة تايلور:

$\sinh x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\cosh x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

$\tanh x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!},\left|x\right|<\frac{\pi }{2}$

$\coth x=\frac{1}{x}+\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}+\frac{2x^5}{945}+\cdots =\frac{1}{x}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n}{B}_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!},0<\left|x\right|<\pi$ (متسلسلة لورنت)

$\mathrm{sech}x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}-\frac{61x^6}{720}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{E_{2n}{x}^{2n}}{(2n)!},\left|x\right|<\frac{\pi }{2}$

$\mathrm{csch}x=x^{-1}-\frac{x}{6}+\frac{7x^3}{360}-\frac{31x^5}{15120}+\cdots =x^{-1}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2(1-2^{2n-1})B_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!},0<\left|x\right|<\pi$ (متسلسلة لورنت)

حيث

$B_n$ هي عدد برنولي رقم n

$E_n$ هي عدد إيولر رقم n

أوجه التشابه مع الدوال المثلثية

نقطة على القطع الزائد, x y = 1 بـ x > 1 تحدد مثلث زائدي, وفيه يكون الجانب المجاور للزاوية الزائدية مصحوبا بـcosh بينما العكس مع sinh. لكن بما أن النقطة (1,1) على هذا القطع الزائد هي على مسافة 2√ من نقطة الأصل, ويكون ثابت التعامد ضروريا لتعريف cosh و sinh بدلالة أطوال المثلث الزائدي. وكما تعبر النقاط $(cos(t),sin(t))$ عن دائرة الوحدة, فإن النقاط $(cosh(t),sinh(t))$ تعبر عن $x^2-y^2=1$ وهذا بناء على القاعدة المثبتة:

${\cosh }^{2}t-{\sinh }^{2}t=1$

والخاصية cosh t >= 1 لجميع قيم t.

الدوال الزائديه هي دوال دورية ذات دور مركب $2\pi i$ ($\pi i$ للظل الزائدي وظل التمام الزائدي.

المتغير البارامتري t ليس زاوية دائرية, ولكنه زاوية زائدية والتي توضح ضعف المساحة بي المحور السيني والقطع الزائدي والخط المستقيم الواصل بين نقطة الأصل والنقطة $cosh(t),sinh(t)$ على القطع الزائد.

الدالة cosh x هي دالة زوجية, متماثلة حول المحور y.

الدالة sinh x is an دالة فردية, أي أن -sinh x = sinh -x, و sinh 0 = 0.

في الحقيقة يمكن التحويل بين المتطابقات المثلثية والمتطابقات الزائدية باستعمال قاعدة اوسبورن التي تنص على هذه الإمكانية عن طريق نشر المتطابقة كليا في حدود قوى تكاملات للجيب وجيب التمام, وبتغيير

sine إلىsinh و cosine إلى cosh, وتبديل الإشارة في كل حد يحوي مضروب من 2, 6, 10, 14,... sinh's. وينتج هذا على سبيل المثال نظريات الجمع.

$\sinh (x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y$

$\cosh (x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y$

$\tanh (x+y)=\frac{\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}$

صيغة مضاعف الزاوية

$$\begin{gathered} \sinh 2x \\ =2\sinh x\cosh x \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \cosh 2x \\ ={\cosh }^{}x+{\sinh }^{}x=2{\cosh }^{}x-1=2{\sinh }^{}x+1 \end{gathered}$$

وصيغة نصف الزاوية

${\cosh }^2\frac{x}{2}=\frac{\cosh x+1}{2}$ ملاحظة: هذا يقابل الجزء المعاكس في الدائرة.

${\sinh }^2\frac{x}{2}=\frac{\cosh x-1}{2}$ هذا يقابل الجزء المعاكس في الدائرة مضروبا في -1.

${\tanh }^{2}x=1-{\mathrm{sech}}^{2}x$

${\coth }^{2}x=1+{\mathrm{csch}}^{2}x$

يعطى اشتقاق sinh x بدلالة cosh x واشتقاق cosh x هو sinh x; وهذا مشابه للدوال المثلثية ولوأن الإشارة تختلف. أي أن، مشتق cos x هو −sin x.

تعطي دالة غودرماني علاقة مباشرة بين الدوال المثلثية والزائدية دون اللجوء إلى الأعداد المركبة.

رسم الدالة a*cosh x/a هو منحنى سلسلي, المنحنى الناتج من سلسلة منتظمة مرنة معلقة بشكل حر بتأثير الجاذبية.

علاقاتها بالدوال الأسية

من تعريف الجيب الزائدي والتمام, يمكن اشتقاق المتطابقات التالية:

$e^x=\cosh x+\sinh x$

و

$e^{-x}=\cosh x-\sinh x.$

وهي تعابير مشابهة لتعابير الجيب وجيب التمام في المثلثات, بناء على صيغة ايولر كمجموع للأسات المركبة.

الدوال الزائدية للأعداد المركبة

لما كانت الدالة الأسية قابلة للتعريف على أي عدد مركب يمكن توسيع التعاريف للوسائط المركبة. الدوال sinh z و cosh z هي إذن هولومورفية.

وتعطى علاقاتها مع الدوال المثلثية بصيغة اويلر للأعداد المركبة:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

$e^{-ix}=\cos x-i\sin x$

وعليه:

$\cosh ix=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}=\cos x$

$\sinh ix=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2}=i\sin x$

$\tanh ix=i\tan x$

$\cosh x=\cos ix$

$\sinh x=-i\sin ix$

$\tanh x=-i\tan ix$

دوال زائدية في المستوى المركب

ملف:Complex Sinh.jpg	ملف:Complex Cosh.jpg	ملف:Complex Tanh.jpg	ملف:Complex Coth.jpg	ملف:Complex Sech.jpg	ملف:Complex Csch.jpg
$\sinh (z)$	$\cosh (z)$	$\tanh (z)$	$\coth (z)$	$\mathrm{sech}(z)$	$\mathrm{csch}(z)$

تطبيقات الدوال الزائدية

لاتقل هذه الدوال شأنا عن الدوال المثلثية, إذ يمكن استخدامها في بعض مسائل التكامل كتعويض مناسب لإيجاد الحل, كما نشأت في بعض المعادلات التفاضلية الخطية كحل عام كما هو الحال في معادلة لابلاس في الإحداثيات الكارتيزية والتي أصبح لها تطبيقات عديدة في الفيزياء. في علم الميكانيكا أيضا كان حساب طول السلاسل المعلقة بشكل حر يجري بشكل متسلسلة قبل التوصل لهذه الدوال.

إنظر أيضا

• معكوس الدالة الزائدية
• قائمة تكاملات الدوال الزائدية
• قطع زائد

bs:Hiperbolička funkcija ca:Funció hiperbòlica cs:Hyperbolické funkce de:Hyperbelfunktion el:Υπερβολικές συναρτήσεις Hyperbolic function]] eo:Hiperbola funkcio es:Función hiperbólica fa:تابع‌های هیپربولیک fi:Hyperbolinen funktio fr:Fonction hyperbolique he:פונקציות היפרבוליות hu:Hiperbolikus függvények is:Breiðbogafall it:Funzioni iperboliche ja:双曲線関数 km:អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក ko:쌍곡선함수 nl:Hyperbolische functie pl:Funkcje hiperboliczne pt:Função hiperbólica ru:Гиперболические функции sh:Hiperbolične funkcije si:බහුවලයික ශ්‍රිත sk:Hyperbolická funkcia sl:Hiperbolična funkcija sr:Хиперболичне функције sv:Hyperbolisk funktion uk:Гіперболічні функції vi:Hàm hypebolic zh:双曲函数