دوال مثلثية

في الرياضيات، تعتبر التوابع المثلثية أو الدوال المثلثية دوال لزاوية هندسية، وهي دوال مهمة عندما نريد دراسة مثلث أوعرض ظواهرِ دورية. يمكن تعريف هذه الدوال ك نسبة لأضلاع مثلث قائم الذي يَحتوي تلك الزاويةَ أَو بشكل أكثر عمومية كإحداثيات على دائرة مثلثية أو دائرة واحدية unit circle.

في الرياضيات، الدوال المثلثية هي دوال ترتبط بالزاوية، وهي مهمة في دراسة المثلثات وتمثيل الظواهر المتكررة (كالموجات). ويمكن تعريف الدوال المثلثية على أنهم نسب بين ضلعين في مثلث قائم فيه الزاوية المعنية، أو، وبشكل أوسع. كنسبة بين إحداثيات نقاط على دائرة الوحدة، ويعتبر دوما عند الإشارة إلى المثلثات ان الحديث يدور حول مثلث في سطح مستوي (مستوى إحداثي أو إقليدي)، وذلك ليكون مجموع الزوايا 180 درجة دائما.

أنواع الدوال المثلثية

توجد ثلاثة دوال مثلثية أساسية هي:

• جا أو الجيب، ويساوي النسبة بين الضلع المقابل للزاوية مقسوما على الوتر.
• جتا أو جيب التمام، ويساوي النسبة بين الضلع المجاور للزاوية مقسوما على الوتر.
• ظا أو الظل، ويساوي النسبية بين الضلع المقابل للزاوية والضلع المجاور لها.

اسم التابع	الاختصار	العلاقة
جيب	sin أو جب أو جا	$\sin \theta =\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )$
تجيب أو جيب تمام	cos، تجب أو جتا	$\cos \theta =\sin (\frac{\pi }{2}-\theta )$
ظل	tan، ظل أو ظا	$\tan \theta =\frac{1}{\cot \theta }=\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\cot (\frac{\pi }{2}-\theta )$
تظل أو ظل تمام	cot، تظل أو ظتا	$\cot \theta =\frac{1}{\tan \theta }=\frac{\cos \theta }{\sin \theta }=\tan (\frac{\pi }{2}-\theta )$
Secant أو قاطع	sec أو قا $\sec \theta =\frac{1}{\cos \theta }=\csc (\frac{\pi }{2}-\theta )$
Cosecant أو قاطع تمام	csc أو قتا	$\csc \theta =\frac{1}{\sin \theta }=\sec (\frac{\pi }{2}-\theta )$

علاقات مثلثية

$\sin (\frac{\pi }{2}-x)=\cos (x)$

$\cos (\frac{\pi }{2}-x)=\sin (x)$

$\cos (\pi -x)=\cos (\frac{\pi }{2}-(x-\frac{\pi }{2}))=\sin (x-\frac{\pi }{2})=-\sin (\frac{\pi }{2}-x)=-\cos (x)$

$\sin (\pi -x)=\sin (\frac{\pi }{2}-(x-\frac{\pi }{2}))=\cos (x-\frac{\pi }{2})=\cos (\frac{\pi }{2}-x)=\sin (x)$

تمثيل بياني لدالة جيب التمام

ملف:Cosinus.svg

تمثيل بياني لدالة الجيب

ملف:Sinus.svg

حساب الدوال المثلثية

يمكن تمثيل جميع الدوال المثلثية بواسطة متسلسة تايلور كالتالي:

الزاوية x مقاسة بالتقدير الدائري في جميع السلاسل التالية

جيب الزاوية:

$\begin{array}{rl}\sin x& =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1},\\ \end{array}$

جيب تمام الزاوية:

$\begin{array}{rl}\cos x& =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}.\end{array}$

ظل الزاوية:

$\begin{array}{rl}\tan x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{U_{2n+1}{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}{2}^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!}\\ & =x+\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{15}{x}^5+\frac{17}{315}{x}^7+\cdots ,\text{for }|x|<\frac{\pi }{2}.\end{array}$

قاطع تمام:

$\begin{array}{rl}\csc x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!}\\ & =x^{-1}+\frac{1}{6}x+\frac{7}{360}{x}^3+\frac{31}{15120}{x}^5+\cdots ,\text{for }0<|x|<\pi .\end{array}$

قاطع:

$\begin{array}{rl}\sec x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{U_{2n}{x}^{2n}}{(2n)!}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{E}_{2n}{x}^{2n}}{(2n)!}\\ & =1+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{5}{24}{x}^4+\frac{61}{720}{x}^6+\cdots ,\text{for }|x|<\frac{\pi }{2}.\end{array}$

ظل تمام:

$\begin{array}{rl}\cot x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{2}^{2n}{B}_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!}\\ & =x^{-1}-\frac{1}{3}x-\frac{1}{45}{x}^3-\frac{2}{945}{x}^5-\cdots ,\text{for }0<|x|<\pi .\end{array}$

إنظر أيضا

• دالة
• دالة زائدية

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

ast:Función trigonométrica az:Triqonometrik funksiyalar bg:Тригонометрична функция bs:Trigonometrijske funkcije ca:Funció trigonomètrica cs:Goniometrická funkce cy:Ffwythiannau trigonometreg da:Trigonometrisk funktion de:Trigonometrische Funktion el:Τριγωνομετρική συνάρτηση Trigonometric functions]] eo:Trigonometria funkcio es:Función trigonométrica et:Trigonomeetrilised funktsioonid fa:سینوس (ریاضیات) fi:Trigonometrinen funktio fr:Fonction trigonométrique gl:Función trigonométrica he:פונקציות טריגונומטריות hu:Szögfüggvények id:Fungsi trigonometrik io:Trigonometriala funciono is:Hornafall it:Funzione trigonometrica ja:三角関数 ka:ტრიგონომეტრიული ფუნქციები km:អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ ko:삼각함수 la:Functiones trigonometricae lo:ຕຳລາໄຕມຸມ lv:Trigonometriskās funkcijas ms:Fungsi trigonometri nl:Goniometrische functie nn:Trigonometrisk funksjon no:Trigonometriske funksjoner pl:Funkcje trygonometryczne pt:Função trigonométrica ro:Funcție trigonometrică ru:Тригонометрические функции sh:Trigonometrijske funkcije si:ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත simple:Trigonometric function sk:Goniometrická funkcia sl:Trigonometrična funkcija sq:Funksionet trigonometrike sr:Тригонометријске функције sv:Trigonometrisk funktion tg:Функсияҳои тригонометрӣ th:ฟังก์ชันตรีโกณมิติ tr:Trigonometrik fonksiyonlar uk:Тригонометричні функції vi:Hàm lượng giác zh:三角函数 zh-classical:三角函數