ملحق:قائمة النهايات

هذه الصفحة تنطوي على عدد من نهايات بعض الدوال الرياضية الشائعة.مع الأخذ بالعلم أن (a) و(b) هي ثوابت عددية غير صفرية.

نهاية الدوال بوجه عام

$\text{If}\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L_1\text{ and }\underset{x\to c}{\lim }g(x)=L_2\text{ then:}$

$\underset{x\to c}{\lim }[f(x)\pm g(x)]=L_1\pm L_2$

$\underset{x\to c}{\lim }[f(x)g(x)]=L_1\times L_2$

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L_1}{L_2}\text{ if }{L}_2\ne 0$

$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^n=L_1^n\text{ if }n\text{ is a positive integer}$

$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{\frac{1}{n}}=L_1^{\frac{1}{n}}\text{ if }n\text{ is a positive integer, and if }n\text{ is even, then }{L}_1>0$

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}\text{ if }\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0\text{ or }\underset{x\to c}{\lim }|g(x)|=+\mathrm{\infty }$ (قاعدة لوبتال)

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f^{\prime }(x)$

$\underset{h\to 0}{\lim }{\left(\frac{f(x+h)}{f(x)}\right)}^{\frac{1}{h}}=\exp \left(\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}\right)$

$\underset{h\to 0}{\lim }{\left(\frac{f(x(1+h))}{f(x)}\right)}^{\frac{1}{h}}=\exp \left(\frac{x{f}^{\prime }(x)}{f(x)}\right)$

نهاية بعض الدوال الخاصة

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{x})}^x=e$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1-\frac{1}{x})}^x=\frac{1}{e}$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e$

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{2}^n\underset{n-1}{\underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2-\cdots \sqrt{2}}}}}}=\pi$

نهايات بعض الدوال الأولية

$\underset{x\to c}{\lim }a=a$

$\underset{x\to c}{\lim }x=c$

$\underset{x\to c}{\lim }ax+b=ac+b$

$\underset{x\to c}{\lim }{x}^r=c^r\text{ if }r\text{ is a positive integer}$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x^r}=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x^r}=\{\begin{array}{ll}-\mathrm{\infty },& \text{if }r\text{ is odd}\\ +\mathrm{\infty },& \text{if }r\text{ is even}\end{array}$

نهايات الدوال الأسية والدوال اللوغارتمية

$\text{For }a>1:$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_{a}x=\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=0$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=\mathrm{\infty }$

نهايات الدوال المثلثية

$\underset{x\to a}{\lim }\sin x=\sin a$

$\underset{x\to a}{\lim }\cos x=\cos a$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x}=0$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$

$\underset{x\to n^{\pm }}{\lim }\tan (\pi x+\frac{\pi }{2})=\mp \mathrm{\infty }\text{for any integer }n$

النهايات عندما تؤول (x) إلى مالانهاية

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }N/x=0\text{ for any real }N$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }x/N=\{\begin{array}{ll}\mathrm{\infty },& N>0\\ \text{does not exist},& N=0\\ -\mathrm{\infty },& N<0\end{array}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^N=\{\begin{array}{ll}\mathrm{\infty },& N>0\\ 1,& N=0\\ 0,& N<0\end{array}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{N}^x=\{\begin{array}{ll}\mathrm{\infty },& N>1\\ 1,& N=1\\ 0,& -1<N<1\end{array}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{N}^{-x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }1/N^x=0\text{ for any }N>1$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[x]{N}=\{\begin{array}{ll}1,& N>0\\ 0,& N=0\\ \text{does not exist},& N<0\end{array}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[N]{x}=\mathrm{\infty }\text{ for any }N>0$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\log x=\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\log x=-\mathrm{\infty }$

انظر

قائمة التكاملات

بوابة:رياضيات

بوابة رياضيات

bs:Tabela graničnih vrijednosti List of limits]] fa:فهرست حدها hy:Սահմանների ցանկ it:Tavola dei limiti notevoli ja:極限の一覧 km:តារាងលីមីត mr:सामान्य मर्यादांचे तक्ते ru:Список пределов tr:Limit hesaplama kuralları