معادلة حفظ الطاقة المدارية

في ديناميكا الفضاء ,معادلة حفظ الطاقة المدارية ((بالإنجليزية: Vis-viva equation)) هي أحد المعادلات الأساسية التي تحدد الحركةالمدارية للأجسام.

معادلة حفظ الطاقة المدارية n^[١] لمدار كيبلرسواء كان بيضاوي الشكل أو قطع مكافئ أو قطع زائد أوشعاعي هي :

v^{2} = G (M + m) (\frac{2}{r} - \frac{1}{a})

$v$ السرعة النسبية للجسمين
$r$ المسافة الفاصلية بين جسمين
$a$ محور شبه رئيسي (a>0 في حالةقطع ناقص، $a = \infty$ أو $\frac{1}{a}$ =0 لـ قطع مكافئ,و a<0 لـ قطع زائد)
$G$ ثابت الجاذبية
$M, m$ كتلة الجسيمين

استنتاج المعادلة

طاقة المدار الكلية هي مجموع الطاقة الكامنة المشتركة والطاقة الحركية للجسم الأول M والجسم الثاني m وتعطى بالمعادلة التالية :

E = \frac{- G M m}{r} + \frac{M (v_{M})^{2}}{2} + \frac{m (v_{m})^{2}}{2}

ويمكن حساب طاقة المدار باستخدام كميات نسبية

E = \frac{- G M m}{r} + μ \frac{v^{2}}{2}

بينما تكون الطاقة الكلية للمدار الإهليجي أو الدائري

E = \frac{- G M m}{2 a},

ϵ = \frac{v^{2}}{2} - \frac{G (M + m)}{r}

ϵ = \frac{- G (M + m)}{2 a}

وبمساواة المعادلتين السابقتين نحصل على

v^{2} = G (M + m) (\frac{2}{r} - \frac{1}{a}) .