فضاء متري

تقديم

في الرياضيات، الفضاء المتري هو مجموعة تعرف فيها مفهوم المسافة بين عناصر المجموعة.

الفضاء المتري هو المصطلح الذي يطلق على الفضاء الثلاثي الأبعاد أو الفضاء الإقليدي. حيث أن المترية الإقليدية تعرف المسافة بين نقطتين على أنها خط مستقيم يصل بينهما.

تعريف

نقول أن التطبيق $d:E\times E\to {\mathbb{ℝ}}^{+}$ مسافة على E أو أننا أَمـْتَرْنا المجوعة E بالمسافة d إذا تحققت الخصائص التالية مجتمعة:

أسم	خاصية
التعاكس	$$\begin{gathered} \mathrm{\forall }x,y\in E, \\ d(x,y)=d(y,x) \end{gathered}$$
الفصل	$$\begin{gathered} \mathrm{\forall }x,y\in E, \\ d(x,y)=0\iff x=y \end{gathered}$$
المتراجحة المثلثية	$$\begin{gathered} \mathrm{\forall }x,y,z\in E, \\ d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z) \end{gathered}$$

المجموعةE مزودة بالمسافة تسمى فضاءا متريا و و نرمز إليه بالثنائية (E,d).

المسافة بين مجموعتين

إذا كان (E,d) فضاءً متريا يمكن تعرف المسافة بين جزئين $E_1$ و $E_2$ من E كأصغر مسافة بين نقطين كل واحدة في مجموعة. $d(E_1,E_2)=\min \{d(x_1,x_2)/x_1\in E_1,x_2\in E_2\}$

أمثلة لمسافات اعتيادية

فضاء موجه أو متجهي منظم: تـُمْكن أمترة الفضاء المتجهي المنظـّم $(E,+,.,\Vert \cdot \Vert )$ بالمسافة. $d(x,y)=\Vert x-y\Vert$

و يمكن تعريف عددا من المسافات على الفضاء ${\mathbb{ℝ}}^n$ بعدَدِ النُّّظـّم التي يمكن تعريفها عليه.

1. مسافة مانهاتن معر فة على ${\mathbb{ℝ}}^n$

$d(x,y)=\sum _{i=1}^n|x_i-y_i|$
       

2.مسافة اوقليدس على ${\mathbb{ℝ}}^n$

$d(x,y)=\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2}$

3.مسافة مِينكوفسكي على ${\mathbb{ℝ}}^n$

$d(x,y)=\sqrt[p]{\sum _{i=1}^n|x_i-y_i{|}^p}$

4. مسافة اتْشيبيتشيف المعرفة على ${\mathbb{ℝ}}^{\mathbb{\mathbb{N}}}$ , الفضاء الموجه للمتتاليات الحقيقية.

 $d(x,y)=\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[p]{\sum _{i=1}^n|x_i-y_i{|}^p}=\underset{i}{\sup }|x_i-y_i|$

أمثلة هامة

1. يمكن تعريف مسافة على مجموعة التبديلات $S_n$ بين تبدلين π و σ كأصغر عدد من التبديلات التي تمكننا من المرور من σ إلى π. وتمكننا في دراسة الجينات بالتعرّف على القرابة بين الأشخاص أو الأقوام أو الكائنات الحية.

1. تستعمِل محركات البحث في قاعدة البيانات للحصول على أقرب الكلمات لكلمة ما , مسافات متعددة منها مسافة هوفمان و كل هذه المسافات معرفة على قاموس ما من لغة ما تأخذ في الاعتبار طبيعة اللغة المستعملة في القاموس.

انظر أيضاً

• طوبولوجيا

وصلات خارجية

• إيريك ويستاين، فضاء متري، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

bg:Метрично пространство ca:Espai mètric cs:Metrický prostor cy:Gofod metrig da:Metrisk rum de:Metrischer Raum el:Μετρικός χώρος Metric space]] eo:Metrika spaco es:Espacio métrico et:Meetriline ruum fa:فضای متری fi:Metrinen avaruus fr:Espace métrique he:מרחב מטרי hu:Metrikus tér is:Firðrúm it:Spazio metrico ja:距離空間 ka:მეტრიკული სივრცე ko:거리공간 lt:Metrinė erdvė mk:Метрички простор nl:Metrische ruimte no:Metrisk rom pl:Przestrzeń metryczna pms:Spassi métrich pt:Espaço métrico ro:Spațiu metric ru:Метрическое пространство sk:Metrický priestor sl:Metrični prostor sr:Метрички простор sv:Metriskt rum tr:Metrik uzay uk:Метричний простір ur:بحر فضا vi:Không gian mêtric zh:度量空间 zh-classical:度量空間