حدسية ميرتنز

حدسية ميرتنز في نظرية الأعداد تنص على أن القيمة المطلقة لدالة ميرتنز لا تتجاوز الجذر المربع ل n. وهي حدسية خاطئة. وضعت عام 1897 وثبت خطأها في عام 1985 وسميت هاته الحدسية هكذا نسبة لعالم الرياضيات فرانز ميرتنز.

تعريف

في نظرية الأعداد، تعرف دالة ميرتنز كما يلي :

$M(n)=\sum _{1\le k\le n}\mu (k)$

حدسية ميرتنز تنص على ما يلي

$|M(n)|<\sqrt{n}.$

معلومات إضافية

عالما الرياضيات اللذان برهنا خطأ حدسية ميرتنز شكا أنه لا يوجد أي مثال مضاد ينتهك هاته الحدسية، تقل قيمته عن  × 10^٢٠ أو حتى  × 10^٣٠. أثبت فيما بعد، أن أول مثال مضاد يكبر ذلك بكثير.

برهان خطإ حدسية ميرتنز أغلق بصفة نهائية طريقا محتملا نحو برهان فرضية ريمان.

فرضية ريمان تنتج عن المتراجحة :$|M(n)|<=c\sqrt{n}.$ أيا كانت قيمة الثابت C.

برهان خطأ حدسية ميرتنز لا يعني نهائيا برهان خطأ فرضية ريمان. اعتقد لمدة طويلة أن حدسية ميرتنز خاطئة، إلا أن برهان خطإها لم يقدم إلا سنة 1985.

حسب عالم رياضيات اسمه فون ستيرنك قيمة دالة ميرتنز إلى حدود خمسة ملايين، سنة 1912، فوضع حدسيته المعروفة بفرضية ستيرنك.

Mertens conjecture]] es:Conjetura de Mertens fr:Conjecture de Mertens nl:Vermoeden van Mertens sv:Mertens förmodan