جذر عدد

ملف:Root symbol.svg

رمز الجذر في الرياضيات

في الرياضيات، جذر العدد النوني هو عدد ما (r) إذا رفعناه لقوة معينة (n)، عادة ما تكون 2، أعطانا العدد الأصلي (العدد النوني، x)

$r^n=x$

مثلاً:

• 2 هو الجذر الرابع (n=4) للعدد 16، لأن $2^4=16$; (وهو العدد الموجب الحقيقي الوحيد الذي يحقق هذه الصفة).
• 3 هو الجذر التربيعي (n=2) للعدد 9 لأن $3^2=9$.

الحرف n يرمز هنا لما يسمى درجة الجذر. جذر من الدرجة الثانية يدعى الجذر التربيعي، وكذلك جذر من الدرجة الثالثة يدعى الجذر التكعيبي، وإلخ. ومن الجدير بالذكر أنه عندما لا تذكر درجة الجذر، المُراد هو الجذر التربيعي.

بشكل عام، الجذر من الدرجة n يُدعى الجذر النوني. عادة ما تُكتب الجذور باستعمال رمز الجذر $\sqrt{}$، فإن الرمز $\sqrt{x}$ يرمز للجذر التربيعي للعدد، أما الرمز $\sqrt[3]{x}$ فيدل على الجذر التكعيبي للعدد، أما الرمز $\sqrt[4]{x}$ فيدل على الجذر الرابع، وإلخ.

في الحساب، تعتبر الجذور حالة خاصة من الرفع للقوة، حيث يكون بها الأس كسرًا:

$\sqrt[n]{x}=x^{1/n}$

أي عدد حقيقي موجب له جذران حقيقيان أحدهما موجب والآخر سالب، ويرمز للجذر الموجب للعدد $x$ بالرمز $\sqrt{x}$ وللجذر السالب بالرمز $-\sqrt{x}$.

تاريخ

هناك تضارب في المعلومات حول أصل الرمز $\sqrt{}$ لعملية الجذر. بعض المصادر تشير أن الرمز استُعمل للمرة الأولى على يد الرياضياتيين العرب. أحد هؤلاء الرياضياتيين العرب هو أبو الحسن علي القلصادي (1421-1486) في الأندلس. يُقال أن رمز الجذر مستمدّ من الحرف ج، الحرف الأول من الكلمة جذر في اللغة العربية. بالرغم من ذلك، يؤمن بعض العلماء، ومن ضمنهم ليونهارد أويلر، أن أصل رمز الجذر هو الحرف r، الحرف الأول من الكلمة radix، "جذر" في اللغة اللاتينية والتي ترمز لنفس العملية الحسابية. وجد رمز الجذر للمرة الأولى في المواد المطبوعة وذلك بدون الخط العلوي (الخط الأفقي الذي فوق العدد داخل رمز الجذر) في كتابات بعنوان Die Coss من سنة 1525 للرياضياتي الألماني كريستوف رودولف.

تعريف وتدوين

ملف:NegativeOne4Root.svg

أربعة الجذور من الدرجة الرابعة للعدد 1-
لا أحد منها عدد حقيقي

ملف:NegativeOne3Root.svg

ثلاثة الجذور التكعيبية للعدد 1-
واحد منها هو عدد حقيقي سالب

الجذر النوني لعدد ما x، حيث أن n هو عددًا سحيحًا موجبًا، هو عدد r إذا رفعناه للقوة n نحصل على x:

$r^n=x$

كل عدد حقيقي موجب x له جذر نوني موجب واحد، ويكتب بالشكل التالي: $\sqrt[n]{x}$. إذا كان n مساويًا لـ 2 يسمى هذا الجذر، الجذر النوني ويُحذف الرمز n عند الكتابة. يمكن أيضًا كتابة الجذر النوني بالطريقة الأسية بالشكل الآتي: $x^{1/n}.$ لقيم n زوجية، أعداد موجبة لها جذر نوني سالب، بينما الأعداد السالبة لا تملك جذر نوني حقيقي. لقيم n فردية، كل عدد سالب له جذر نوني سالب. مثلاً، العدد 2- لديه جذر خامس حقيقي، $\sqrt[5]{-2}=-1.148698354\dots$، ولكن العدد 2- لا يملك أي جذر سادس حقيقي.

كل عدد x ما عدا الصفر، إن كان حقيقيًا أو مركبًا، له n جذور نونية مركّبة مختلفة تضك أبيضًا أي جذر موجب أو سالب، أنظر الجذور المركبة في الأسفل. الجذر النوني للعدد 0 هو الـ 0.

بالنسبة لمعظم الأعداد، الجذر النوني هو عدد لا كسري. على سبيل المثال،

$\sqrt{2}=1.414213562\dots$

الجذور التربيعية

طالع أيضاً: جذر تربيعي

الجذر التربيعي لعدد ما x هو العدد r الذي إذا ربّعناه نحصل على x.

$r^2=x$

لكل عدد حقيقي موجب يوجد جذرين تربيعيين، إحدهما موجب والآخر سالب. على سبيل المثال، الجذران التربيعيان للعدد 25 هما 5 و 5-.
بما أن تربيع كل عدد حقيقي هو عدد حقيقي موجب، للأعداد السالبة لا توجد جذور تربيعية حقيقية. مع ذلك، لكل عدد سالب جذرين تربيعيين مركبين. على سبيل المثال، الجذران التربيعين للعدد 25- هما 5i و 5i-، حيث أن i هو الجذر التربيعي للعدد 1-.

الجذور التكعيبية

طالع أيضاً: جذر تكعيبي

الجذر التكعيبي لعدد ما x هو العدد r الذي إذا كعّبناه نحصل على x.

$r^3=x$

لكل عدد حقيقي x يوجد جذر تكعيبي واحد، ويكتب بالطريقة التالية: $\sqrt[3]{x}$. على سبيل المثال،

$\sqrt[3]{8}=2\text{and}\sqrt[3]{-8}=-2$

كل عدد حقيقي له جذرين تكعيبيين إضافيين مركبين (أنظر الجذور المركبة في الأسفل).

مطابقات وخواص

لكل عدد موجب حقيقي يوجد جذر نوني موجب، وتنطبق عليه الخواص التالية:

$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b},$

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}.$

وعندما ننظر إلى الصيغة الأسية للجذور، يمكن أن نفهم الخواص التالية أيضًا:

$\sqrt[n]{a^m}={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m={\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^m=a^{\frac{m}{n}}.$

الجذور من درجات أعلى

بالمثل يقال أن y هو جذر تكعيبي للعدد $x$ إذا كان $y^3=x$ ويرمز للجذر التكعيبي بالرمز $3^{}\sqrt{x}$ من السهل ملاحظة أن $2$ هي الجذر التكعيبي ل $8$ وأن $3$ هي الجذر التكعيبي ل $27$ و$-3$ هي الجذر التكعيبي ل $-27$.

الجذور المركبة

ملف:3rd roots of unity.svg

ثلاثة الجذور للعدد 1

كل عدد معرّف فوق حقل الأعداد المركبة له n جذور نونية مختلفة.

جذور تربيعية

الجذران التربيعيان لعدد مركب هما دائمًا مضادان. مثلاً، الجذران التربيعيان للعدد 1- هما 2i و 2i-، والجذران التربيعيان للعدد i هما

$\frac{1+i}{\sqrt{2}}\text{and}\frac{-1-i}{\sqrt{2}}$

من الممكن أيضا التعامل مع الجذور المركبة للأعداد الحقيقية، فيرمز للجذر التربيعي للعدد $-1$ بالرمز $i$، ويصبح $3i$ هو الجذر التربيعي للعدد $-9$، وهكذا، إصطلح على تسمية الكميات التي على الصورة $ai$ حيث $a$ عدد حقيقي بالكميات التخيلية، وهي جذور الأعداد الحقيقية السالبة.

تقابلنا الكميات التخيلية مرة أخرى عندما نبحث عن أكثر من جذر تكعيبي (أو من درجة أعلى) لعدد حقيقي موجب، فالعدد الحقيقي $1$ له جذر تكعيبي واحد في الأعداد الحقيقية (هو 1 نفسه) لكن العددان المركبان $-\sqrt{3}/2-i/2,-\sqrt{3}/2+i/2$ هما أيضا جذران تكعيبيان للواحد، بوجه عام الأعداد $\cos (k\pi /n)+i\sin (k\pi /n),k=0,1,\dots ,n$ هي جميعا جذور للواحد الصحيح من الدرجة $n$

انظر أيضا

• عدد جبري

• عدد لا كسري

• جذر أصم

المراجع

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

az:Kök altı cs:Odmocnina de:Wurzel (Mathematik) el:Νιοστή ρίζα Nth root]] es:Función raíz eu:Erroketa fa:ریشه عدد he:שורש (מתמטיקה) hi:मूल (संख्या का) hu:Gyökvonás it:Radicale (matematica) ja:冪根 ka:ფესვი (მათემატიკა) lt:N šaknis nds:Wörtel (Mathematik) nn:N-te-rot no:N-te-rot pl:Pierwiastkowanie pt:Radiciação qu:Yupay saphi ru:Арифметический корень simple:Nth root sl:Korenjenje sv:Rot av tal th:รากที่ n ur:اصم zh:方根