موحل في الصغر
استُخدم الموحل في الصغر للتعبير عن الأشياء بالغة الضآلة، بحيثُ إنه لا توجد طريقة لرؤيتها أو لقياسها. مثلاً، في الحياة اليومية، شيءٌ موحلٌ في الصغر يمكنُ أن يكون شيئاً أصغر من أيِّ قياسٍ ممكن. في الاستخدام الدارج؛ تعني هذه الصفة بأن الشيء صغير للغاية، لكن هذا لا يقتضي أن يكون صِفراً.
قبل القرن التاسع عشر، لم يكن أيٌّ من المفاهيم الرياضية التي نعرفها اليوم معرفًا بطريقة دقيقة، رغمَ أن هذه المفاهيم كانت موجودة فعلاً. مؤسِّسوا علم التفاضل والتكامل؛ لَيبنيز ونيوتن وأويلر ولاغرانج وبرنولي وكثيرون غيرهم، استخدموا الأرقام الموحِلة بنفس الطريقة المعروضة هنا، ووصلوا إلى نتائجَ صحيحةٍ جوهرياً؛ رغم أنه لم يكن يوجد تعريف رياضي دقيق للرقم الموحل آنذاك (من المثير للاهتمام أنه لم يكن يوجد تعريفٌ رياضي دقيقٌ لمجموعة الأعداد الحقيقيَّة في ذلك الحين أيضًا).
الاستخدام الأصلي للأرقام الموحلة في الرياضيات
مثالٌ نموذجيٌّ من استخدام نيوتن ولَيْبنيز للأرقام الموحلة، في أول تأسيسهما لعلم التفاضل والتكامل يمكن أن يكون التالي:
- إذ إن دس رقم موحلٌ في الصغر.
هذه المحاججة، رغم جمالها، وخروجها بنتيجة صحيحة، ليست رصينة رياضيًا. وقد هاجم بِشُب باركلي استخدام الأرقام الموحلة وخطَّأهُ في كتابهِ "المُحلِّل" (The Analyst). المشكلةُ الأساسية هنا هي أن دس تُعامل في البداية على أنها رقم غير صِفري (تمكن القسمة عليه)، ثم تطرحُ جانبًا كما لو أنَّها كانت صفرًا. التَّعريف البسيط للرقم الموحل هو أنهُ رقمٌ قيمته المُطلقة أقل من أيِّ عدد موجبٍ غير صفريِّ. هنا، ومن هذا التعريف، يُمكن الوصول إلى أنه لا يوجد رقم حقيقيٌّ موحلٌ غيرُ صفري. إن أخذنا بعين الاعتبار الأرقام الموجبة فقط، فالطريقة الوحيدة لأي رقم حتى يكون أقلَّ من جميع الأرقام هيَ أن يكون أدنى رقمٍ موجب. إن كان ع هذا الرقم، فماذا ستكون قيمة ع/2؟ أو، إن كان ع لا يتجزأ؛ فهل يظل رقمًا؟ أيضًا، وببساطة، فإن مقلوبَ رقمٍ موحلٍ يجب أن يكون ذا مقدارٍ غير محدود، لكنَّ هذا سيجعله أكبر رقمٍ في حينِ لا يوجد رقمٌ مثلُ ذلك؛ رقمٌ يمكن اعتباره آخرَ رقمٍ في مجموعة الأرقام. على الرغم من هذا، يُمكن توسيع مجموعة الأرقام الحقيقية وتعديلُها لتشمل الأرقام الموحِلة، كما هو الحالُ في الأرقام الحقيقية المزدوجة والأرقام الحقيقية الفائقة، لكن هذا لا يُمكن إنجازه مالم تُستبعد خصائص معيَّنة من مجموعة الأرقام الحقيقية.
لم يُمنح علم التفاضل والتكامل تأسيسًا رياضيًا رصينًا حتى النصف الثاني من القرن التاسعِ عشر، على يد كارل فايرستراس وآخرين، باستخدام اصطلاح النهاية الرياضية. أما في القرن العشرين، فقد وُجِدَ أن الأرقام الموحلة يمكن بعد كلِّ هذا الوقت، أن تُعالج معالجةً رياضية رصينة. كلتا الصياغتين صحيحتان، وكِلتاهما تُعطيان النتائج نفسَها إن استُخدمتا بشكل صحيح.
| ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg | بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات. |
ca:Mètodes infinitesimals cs:Infinitezimální hodnota da:Infinitesimal de:Infinitesimalzahl Infinitesimal]] es:Infinitesimal fi:Infinitesimaali fr:Infiniment petit gl:Infinitesimal he:אינפיניטסימל it:Infinitesimo ja:無限小 ko:무한소 nl:Infinitesimaal pl:Nieskończenie małe pt:Infinitesimal ro:Infinitezimal ru:Бесконечно малая и бесконечно большая sl:Infinitezimala sq:Infinitezimale sr:Инфинитезималан sv:Infinitesimal th:กณิกนันต์ uk:Нескінченно мала величина zh:無窮小量 zh-classical:無窮小
