معايير تقارب سلسلة

في التحليل الرياضي، نستخدم معايير التقارب للتحقق من تقارب سلسلة لامنتهية معطاة.

لتكن لدينا السلسلة $S$ المكونة من مجموع حدود المتتالية $$\begin{gathered} \{a_1, \\ {a}_2, \\ {a}_3,\dots \} \end{gathered}$$

$S=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=a_1+a_2+a_3+\dots$

نعرف $S_N$ على انها سلسلة جزئية من $S$، حيث نكتفي بمجموع أول عدد N من الحدود

$S_N=\sum _{n=1}^N{a}_n=a_1+a_2+a_3+\dots +a_N$

نقول عن سلسلة بأنها متقاربة إذا تقاربت المتتالية المكونة من السلاسل الجزئية $$\begin{gathered} \{S_1, \\ {S}_2, \\ {S}_3,\dots \} \end{gathered}$$.

هناك عدة معايير لتحديد ما إذا كانت السلسلة متقاربة أم متباعدة

معيار المقارنة

نقارن حدود المتتالية $\{a_n\}$ بمتتالية أخرى $\{b_n\}$ بحيث من أجل أي n،

اذا كان $$\begin{gathered} 0\le \\ {a}_n\le \\ {b}_n \end{gathered}$$، وكانت السلسلة $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ هي سلسلة متقاربة، فان$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ متقاربة حتماً.

أما إذا كان$$\begin{gathered} 0\le \\ {b}_n\le \\ {a}_n \end{gathered}$$ وكانت السلسلة $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ هي سلسلة متباعدة، فان السلسلة $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ هي سلسلة متباعدة حتماً.

معيار دالامبير

من أجل كل القيم الموجبة لـ n وa_n، يوجد عدد L بحيث

$L=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$

• إذا كان $L<1$ فالسلسلة متقاربة.
• إذا كان L>1 فالسلسة متباعدة.
• في حال كان L=1 فعندها يكون المعيار غير ذي جدوى. ويمكن استخدام معيار رابي Raabe.

معيار رابي

عندما $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1$

واذا وجد عدد$c>0$ بحيث

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|-1)=-1-c$ فعندها نقول أن السلسلة مطلقة التقارب.

معيار كوشي الجذري

نبحث عن قيمة النهاية $k=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{a_n}$

• إذا كان $k<1$ فالسلسلة متقاربة.
• إذا كان $k>1$ فالسلسلة متباعدة.
• أما في حال $k=1$ فنقول أن المعيار غير دي جدوى.

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

bs:Testovi konvergencije de:Konvergenzkriterium Convergence tests]] fi:Suppenemistestit he:מבחני התכנסות לטורים it:Criteri di convergenza pl:Kryteria zbieżności szeregów ro:Criterii de convergență zh:审敛法