مجموعة قواعد في ميكانيكا الكم

في ميكانيكا الكم مجموعة قواعد في ميكانيكا الكم (بالإنجليزي: Sum rule in quantum mechanics) تصف الانتقالات بين مستويات,كما تستخدم لوصف العديد من الخصائص للأنظمة الفيزيائية الصلبة والذرية,النووية,نواة الذرة.

استنتاج مجموعة من القواعد

نفرض أن هاميلتونيان $\hat{H}$ له مجموعة من القيم متعامدة $|n⟩$ مع القيم الذاتية ${ϵ}_n$:

$\hat{H}|n⟩={ϵ}_n|n⟩.$

نحدد معكوس المؤثر الهرميتي $\hat{A}$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}{\hat{C}}^{(0)}& \equiv \hat{A}\\ {\hat{C}}^{(1)}& \equiv [\hat{H},\hat{A}]=\hat{H}\hat{A}-\hat{A}\hat{H}\\ {\hat{C}}^{(k)}& \equiv [\hat{H},{\hat{C}}^{(k-1)}], \\ k=1,2,\dots \end{array} \end{gathered}$$

نجد أن ${\hat{C}}^{(0)}$ مؤثر هرميتي لأنه يساوي القيمة $\hat{A}$ ولكن ${\hat{C}}^{(1)}$ مؤثر غير هيرميتي

${\left({\hat{C}}^{(1)}\right)}^{†}=(\hat{H}\hat{A}{)}^{†}-(\hat{A}\hat{H}{)}^{†}=\hat{A}\hat{H}-\hat{H}\hat{A}=-{\hat{C}}^{(1)}.$

وبالاستقراء نجد

${\left({\hat{C}}^{(k)}\right)}^{†}=(-1{)}^k{\hat{C}}^{(k)}$

أيضا

$⟨m|{\hat{C}}^{(k)}|n⟩=(E_m-E_n{)}^k⟨m|\hat{A}|n⟩.$

$|⟨m|\hat{A}|n⟩{|}^2=⟨m|\hat{A}|n⟩⟨m|\hat{A}|n{⟩}^{\ast }=⟨m|\hat{A}|n⟩⟨n|\hat{A}|m⟩.$

وباستخدام هذه العلاقة

$\begin{array}{rl}⟨m|[\hat{A},{\hat{C}}^{(k)}]|m⟩& =⟨m|\hat{A}{\hat{C}}^{(k)}|m⟩-⟨m|{\hat{C}}^{(k)}\hat{A}|m⟩\\ & =\sum _n⟨m|\hat{A}|n⟩⟨n|{\hat{C}}^{(k)}|m⟩-⟨m|{\hat{C}}^{(k)}|n⟩⟨n|\hat{A}|m⟩\\ & =\sum _n⟨m|\hat{A}|n⟩⟨n|\hat{A}|m⟩(E_n-E_m{)}^k-(E_m-E_n{)}^k⟨m|\hat{A}|n⟩⟨n|\hat{A}|m⟩\\ & =\sum _n(1-(-1{)}^k)(E_n-E_m{)}^k|⟨m|\hat{A}|n⟩{|}^2.\end{array}$

يمكن كتابة النتيجة كالتالي :

$⟨m|[\hat{A},{\hat{C}}^{(k)}]|m⟩=\{\begin{array}{ll}0,& \text{if }k\text{ is even}\\ 2\sum _n(E_n-E_m{)}^k|⟨m|\hat{A}|n⟩{|}^2,& \text{if }k\text{ is odd}.\end{array}$

وبوضع $k=1$

$⟨m|[\hat{A},[\hat{H},\hat{A}]]|m⟩=2\sum _n(E_n-E_m)|⟨m|\hat{A}|n⟩{|}^2.$

شاهد أيضا

• قوة التذبذب

المراجع

Sum rule in quantum mechanics]]