ملحق:قائمة المطابقات المثلثية

جميع الدوال المثلثية التي لها زاوية θ يمكن انشاؤها بالهندسة التحليلية بدلالة درائرة الوحدة التي مركزها عند O.

الجيوب وجيوب التمام حول دائرة الوحدة

في علم الرياضيات، المطابقات أو المتطابقات المثلثية هي متساويات تتألف من دوال مثلثية. وتعتبر المتطابقات مفيدة جدًا في تبسيط أو التحويل بين الدوال الرياضية. كما أن لها دور كبير في حل المعادلات الرياضية خاصة في معكوس الدالة (كصيغة غاردان) والتكامل (كتكامل مربع جيب تمام الزاوية).

ملاحظات

سيتم استخدام الرموز المتفق عليها عالميًا بدلا من العربية، مثلا جا(س) سوف تصبح (sin(x وذلك بغرض تسهيل الانتقال بين المقالات بكافة اللغات في هذه الموسوعة.
لتجنب الالتباس حول (sin⁻¹(x ومثيلاتها هل هي مقاليب أم معاكيس، سيتم استخدام (cosec(x ومثيلاتها للمقاليب و(arcsin(x ومثيلاتها للمعكوسات وهكذا.

الدالة		الدالة العكسية		المقلوب		معكوس المقلوب
جيب الزاوية	sin	قوس جيب الزاوية	arcsin	قاطع تمام الزاوية	csc	قوس قاطع التمام	arccsc
جيب تمام الزاوية	cos	قوس جيب الزاوية	arccos	قاطع الزاوية	sec	قوس قاطع الزاوية	arcsec
ظل الزاوية	tan	قوس ظل الزاوية	arctan	قاطع الظل	cot	قوس قاطع الظل	arccot

الجدول التالي يبين بعض وحدات الزوايا والتحويل بينها

الدرجات	30	45	60	90	120	180	270	360
الراديان	$π / 6$	$π / 4$	$π / 3$	$π / 2$	$2 π / 3$	$π$	$3 π / 2$	$2 π$
غراد	33 ⅓	50	66 ⅔	100	133 ⅓	200	300	400

علاقات أساسية

متطابقة فيثاغورث الهندسية	$\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1$
متطابقة النسبة	$\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}$

كل دالة مثلثية بدلالة مثيلاتها الخمس الأخرى.
الدالة	$(\sin θ)$	$(\cos θ)$	$(\tan θ)$	$(\csc θ)$	$(\sec θ)$	$(\cot θ)$
$\sin θ =$	$\sin θ$	$\pm \sqrt{1 - \cos^{2} θ}$	$\pm \frac{\tan θ}{\sqrt{1 + \tan^{2} θ}}$	$\frac{1}{\csc θ}$	$\pm \frac{\sqrt{\sec^{2} θ - 1}}{\sec θ}$	$\pm \frac{1}{\sqrt{1 + \cot^{2} θ}}$
$\cos θ =$	$\pm \sqrt{1 - \sin^{2} θ}$	$\cos θ$	$\pm \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} θ}}$	$\pm \frac{\sqrt{\csc^{2} θ - 1}}{\csc θ}$	$\frac{1}{\sec θ}$	$\pm \frac{\cot θ}{\sqrt{1 + \cot^{2} θ}}$
$\tan θ =$	$\pm \frac{\sin θ}{\sqrt{1 - \sin^{2} θ}}$	$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos^{2} θ}}{\cos θ}$	$\tan θ$	$\pm \frac{1}{\sqrt{\csc^{2} θ - 1}}$	$\pm \sqrt{\sec^{2} θ - 1}$	$\frac{1}{\cot θ}$
$\csc θ =$	$\frac{1}{\sin θ}$	$\pm \frac{1}{\sqrt{1 - \cos^{2} θ}}$	$\pm \frac{\sqrt{1 + \tan^{2} θ}}{\tan θ}$	$\csc θ$	$\pm \frac{\sec θ}{\sqrt{\sec^{2} θ - 1}}$	$\pm \sqrt{1 + \cot^{2} θ}$
$\sec θ =$	$\pm \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} θ}}$	$\frac{1}{\cos θ}$	$\pm \sqrt{1 + \tan^{2} θ}$	$\pm \frac{\csc θ}{\sqrt{\csc^{2} θ - 1}}$	$\sec θ$	$\pm \frac{\sqrt{1 + \cot^{2} θ}}{\cot θ}$
$\cot θ =$	$\pm \frac{\sqrt{1 - \sin^{2} θ}}{\sin θ}$	$\pm \frac{\cos θ}{\sqrt{1 - \cos^{2} θ}}$	$\frac{1}{\tan θ}$	$\pm \sqrt{\csc^{2} θ - 1}$	$\pm \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} θ - 1}}$	$\cot θ$

التطابق, الإزاحة, والدورية

من دائرة الوحدة يمكن الحصول على المتطابقات التالية..

التطابق

تنجم عن عملية عكس الزوايا انعكاسات في المتطابقات المثلثية كما في الجدول التالي.{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF" ! انعكاس في $θ = 0$ ! انعكاس في $θ = π / 2$
(متطابقة مساعدة) ! انعكاس في $θ = π$ |- | $\begin{aligned} \sin (- θ) & = - \sin θ \\ \cos (- θ) & = + \cos θ \\ \tan (- θ) & = - \tan θ \\ \csc (- θ) & = - \csc θ \\ \sec (- θ) & = + \sec θ \\ \cot (- θ) & = - \cot θ \end{aligned}$ | $\begin{aligned} \sin (\frac{π}{2} - θ) & = + \cos θ \\ \cos (\frac{π}{2} - θ) & = + \sin θ \\ \tan (\frac{π}{2} - θ) & = + \cot θ \\ \csc (\frac{π}{2} - θ) & = + \sec θ \\ \sec (\frac{π}{2} - θ) & = + \csc θ \\ \cot (\frac{π}{2} - θ) & = + \tan θ \end{aligned}$ | $\begin{aligned} \sin (π - θ) & = + \sin θ \\ \cos (π - θ) & = - \cos θ \\ \tan (π - θ) & = - \tan θ \\ \csc (π - θ) & = + \csc θ \\ \sec (π - θ) & = - \sec θ \\ \cot (π - θ) & = - \cot θ \end{aligned}$ |}

الإزاحة والدورية

ازح بمقدار π/2	ازح بمقدار π للظل وقاطع الظل	ازح بمقدار 2π للجيب, جيب التمام, القاطع وقاطع التمام.
$\begin{aligned} \sin (θ + \frac{π}{2}) & = + \cos θ \\ \cos (θ + \frac{π}{2}) & = - \sin θ \\ \tan (θ + \frac{π}{2}) & = - \cot θ \\ \csc (θ + \frac{π}{2}) & = + \sec θ \\ \sec (θ + \frac{π}{2}) & = - \csc θ \\ \cot (θ + \frac{π}{2}) & = - \tan θ \end{aligned}$	$\begin{aligned} \sin (θ + π) & = - \sin θ \\ \cos (θ + π) & = - \cos θ \\ \tan (θ + π) & = + \tan θ \\ \csc (θ + π) & = - \csc θ \\ \sec (θ + π) & = - \sec θ \\ \cot (θ + π) & = + \cot θ \end{aligned}$	$\begin{aligned} \sin (θ + 2 π) & = + \sin θ \\ \cos (θ + 2 π) & = + \cos θ \\ \tan (θ + 2 π) & = + \tan θ \\ \csc (θ + 2 π) & = + \csc θ \\ \sec (θ + 2 π) & = + \sec θ \\ \cot (θ + 2 π) & = + \cot θ \end{aligned}$

متطابقات مجموع وفرق الزوايا

الجيب	$\sin (α \pm β) = \sin α \cos β \pm \cos α \sin β$
جيب التمام	$\cos (α \pm β) = \cos α \cos β \mp \sin α \sin β$
الظل	$\tan (α \pm β) = \frac{\tan α \pm \tan β}{1 \mp \tan α \tan β}$
قوس الجيب	$\arcsin α \pm \arcsin β = \arcsin (α \sqrt{1 - β^{2}} \pm β \sqrt{1 - α^{2}})$
قوس جيب التمام	$\arccos α \pm \arccos β = \arccos (α β \mp \sqrt{(1 - α^{2}) (1 - β^{2})})$
قوس الظل	$\arctan α \pm \arctan β = \arctan (\frac{α \pm β}{1 \mp α β})$

شكل المصفوفة

[\begin{matrix} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{matrix}] [\begin{matrix} \cos β & - \sin β \\ \sin β & \cos β \end{matrix}] = [\begin{matrix} \cos (α + β) & - \sin (α + β) \\ \sin (α + β) & \cos (α + β) \end{matrix}] .

جيوب وجيوب التمام لمجاميع حدود لانهائية

\sin (\sum_{i = 1}^{\infty} θ_{i}) = \sum_{o d d k \geq 1} (- 1)^{(k - 1) / 2} \sum_{\begin{matrix} A \subseteq {1, 2, 3, \dots} \\ | A | = k \end{matrix}} (\prod_{i \in A} \sin θ_{i} \prod_{i \in̸ A} \cos θ_{i})

\cos (\sum_{i = 1}^{\infty} θ_{i}) = \sum_{e v e n k \geq 0} (- 1)^{k / 2} \sum_{\begin{matrix} A \subseteq {1, 2, 3, \dots} \\ | A | = k \end{matrix}} (\prod_{i \in A} \sin θ_{i} \prod_{i \in̸ A} \cos θ_{i})

ظلال مجاميع حدود محدودة

\tan (θ_{1} + \dots + θ_{n}) = \frac{e_{1} - e_{3} + e_{5} - \dots}{e_{0} - e_{2} + e_{4} - \dots},

مثال:

\begin{aligned} \tan (θ_{1} + θ_{2} + θ_{3}) & = \frac{e_{1} - e_{3}}{e_{0} - e_{2}} = \frac{(x_{1} + x_{2} + x_{3}) - (x_{1} x_{2} x_{3})}{1 - (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3})}, \\ \tan (θ_{1} + θ_{2} + θ_{3} + θ_{4}) & = \frac{e_{1} - e_{3}}{e_{0} - e_{2} + e_{4}} \\ = \frac{(x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}) - (x_{1} x_{2} x_{3} + x_{1} x_{2} x_{4} + x_{1} x_{3} x_{4} + x_{2} x_{3} x_{4})}{1 - (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{1} x_{4} + x_{2} x_{3} + x_{2} x_{4} + x_{3} x_{4}) + (x_{1} x_{2} x_{3} x_{4})}, \end{aligned}

وهكذا

قواطع مجاميع حدود محدودة

\sec (θ_{1} + \dots + θ_{n}) = \frac{\sec θ_{1} \dots \sec θ_{n}}{e_{0} - e_{2} + e_{4} - \dots}

مثلا,

\sec (α + β + γ) = \frac{\sec α \sec β \sec γ}{1 - \tan α \tan β - \tan α \tan γ - \tan β \tan γ} .

صيغ الزوايا المتعددة

T_n is the nth Chebyshev polynomial	$\cos n θ = T_{n} (\cos θ)$
S_n is the nth spread polynomial	$\sin^{2} n θ = S_{n} (\sin^{2} θ)$
de Moivre's formula, $i$ is the Imaginary unit	$\cos n θ + i \sin n θ = (\cos (θ) + i \sin (θ))^{n}$

1 + 2 \cos (x) + 2 \cos (2 x) + 2 \cos (3 x) + \dots + 2 \cos (n x) = \frac{\sin ((n + \frac{1}{2}) x)}{\sin (x / 2)} .

(This function of x is the Dirichlet kernel.)

صيغ مضاعفات, ثلاثيات, وانصاف الزوايا

طالع أيضاً: Tangent half-angle formula

Double-angle formulae
$\begin{aligned} \sin 2 θ & = 2 \sin θ \cos θ \\ = \frac{2 \tan θ}{1 + \tan^{2} θ} \end{aligned}$	$\begin{aligned} \cos 2 θ & = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ \\ = 2 \cos^{2} θ - 1 \\ = 1 - 2 \sin^{2} θ \\ = \frac{1 - \tan^{2} θ}{1 + \tan^{2} θ} \end{aligned}$	$\tan 2 θ = \frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ}$	$\cot 2 θ = \frac{\cot^{2} θ - 1}{2 \cot θ}$
Triple-angle formulae
$\sin 3 θ = 3 \sin θ - 4 \sin^{3} θ$	$\cos 3 θ = 4 \cos^{3} θ - 3 \cos θ$	$\tan 3 θ = \frac{3 \tan θ - \tan^{3} θ}{1 - 3 \tan^{2} θ}$	$\cot 3 θ = \frac{3 \cot θ - \cot^{3} θ}{1 - 3 \cot^{2} θ}$
Half-angle formulae
$\sin \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos θ}{2}}$	$\cos \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos θ}{2}}$	$\begin{aligned} \tan \frac{θ}{2} & = \csc θ - \cot θ \\ = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos θ}{1 + \cos θ}} \\ = \frac{\sin θ}{1 + \cos θ} \\ = \frac{1 - \cos θ}{\sin θ} \end{aligned}$	$\begin{aligned} \cot \frac{θ}{2} & = \csc θ + \cot θ \\ = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos θ}{1 - \cos θ}} \\ = \frac{\sin θ}{1 - \cos θ} \\ = \frac{1 + \cos θ}{\sin θ} \end{aligned}$

جيوب, جيوب التمام, وظلال زوايا متعددة

\sin n θ = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) \cos^{k} θ \sin^{n - k} θ \sin (\frac{1}{2} (n - k) π)

\cos n θ = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) \cos^{k} θ \sin^{n - k} θ \cos (\frac{1}{2} (n - k) π)

\tan (n + 1) θ = \frac{\tan n θ + \tan θ}{1 - \tan n θ \tan θ} .

\cot (n + 1) θ = \frac{\cot n θ \cot θ - 1}{\cot n θ + \cot θ} .

ظل المتوسط

\tan (\frac{α + β}{2}) = \frac{\sin α + \sin β}{\cos α + \cos β} = - \frac{\cos α - \cos β}{\sin α - \sin β}

مضروب ايولر اللانهائي

\cos (\frac{θ}{2}) \cdot \cos (\frac{θ}{4}) \cdot \cos (\frac{θ}{8}) \dots = \prod_{n = 1}^{\infty} \cos (\frac{θ}{2^{n}}) = \frac{\sin (θ)}{θ} = sinc θ .

صيغ اختصار الأس

Sine	Cosine	Other
$\sin^{2} θ = \frac{1 - \cos 2 θ}{2}$	$\cos^{2} θ = \frac{1 + \cos 2 θ}{2}$	$\sin^{2} θ \cos^{2} θ = \frac{1 - \cos 4 θ}{8}$
$\sin^{3} θ = \frac{3 \sin θ - \sin 3 θ}{4}$	$\cos^{3} θ = \frac{3 \cos θ + \cos 3 θ}{4}$	$\sin^{3} θ \cos^{3} θ = \frac{3 \sin 2 θ - \sin 6 θ}{32}$
$\sin^{4} θ = \frac{3 - 4 \cos 2 θ + \cos 4 θ}{8}$	$\cos^{4} θ = \frac{3 + 4 \cos 2 θ + \cos 4 θ}{8}$	$\sin^{4} θ \cos^{4} θ = \frac{3 - 4 \cos 4 θ + \cos 8 θ}{128}$
$\sin^{5} θ = \frac{10 \sin θ - 5 \sin 3 θ + \sin 5 θ}{16}$	$\cos^{5} θ = \frac{10 \cos θ + 5 \cos 3 θ + \cos 5 θ}{16}$	$\sin^{5} θ \cos^{5} θ = \frac{10 \sin 2 θ - 5 \sin 6 θ + \sin 10 θ}{512}$

	Cosine	Sine
$if n is odd$	$\cos^{n} θ = \frac{2}{2^{n}} \sum_{k = 0}^{\frac{n - 1}{2}} (\binom{n}{k}) \cos ((n - 2 k) θ)$	$\sin^{n} θ = \frac{2}{2^{n}} \sum_{k = 0}^{\frac{n - 1}{2}} (- 1)^{(\frac{n - 1}{2} - k)} (\binom{n}{k}) \sin ((n - 2 k) θ)$
$if n is even$	$\cos^{n} θ = \frac{1}{2^{n}} (\binom{n}{\frac{n}{2}}) + \frac{2}{2^{n}} \sum_{k = 0}^{\frac{n}{2} - 1} (\binom{n}{k}) \cos ((n - 2 k) θ)$	$\sin^{n} θ = \frac{1}{2^{n}} (\binom{n}{\frac{n}{2}}) + \frac{2}{2^{n}} \sum_{k = 0}^{\frac{n}{2} - 1} (- 1)^{(\frac{n}{2} - k)} (\binom{n}{k}) \cos ((n - 2 k) θ)$

متطابقات التحويل من المجوع إلى المضروب والمضروب إلى المجموع

Product-to-sum
$\cos θ \cos φ = \frac{\cos (θ - φ) + \cos (θ + φ)}{2}$
$\sin θ \sin φ = \frac{\cos (θ - φ) - \cos (θ + φ)}{2}$
$\sin θ \cos φ = \frac{\sin (θ + φ) + \sin (θ - φ)}{2}$
$\cos θ \sin φ = \frac{\sin (θ + φ) - \sin (θ - φ)}{2}$

$\sin θ \pm \sin φ = 2 \sin (\frac{θ \pm φ}{2}) \cos (\frac{θ \mp φ}{2})$
$\cos θ + \cos φ = 2 \cos (\frac{θ + φ}{2}) \cos (\frac{θ - φ}{2})$
$\cos θ - \cos φ = - 2 \sin (\frac{θ + φ}{2}) \sin (\frac{θ - φ}{2})$

متطابقات أخرى ذات صلة

if x + y + z = π = half circle,

then \tan (x) + \tan (y) + \tan (z) = \tan (x) \tan (y) \tan (z) .

If x + y + z = π = half circle,

then \sin (2 x) + \sin (2 y) + \sin (2 z) = 4 \sin (x) \sin (y) \sin (z) .

نظرية بتولمي

If w + x + y + z = π = half circle,

\begin{aligned} then & \sin (w + x) \sin (x + y) \\ = \sin (x + y) \sin (y + z) \\ = \sin (y + z) \sin (z + w) \\ = \sin (z + w) \sin (w + x) = \sin (w) \sin (y) + \sin (x) \sin (z) . \end{aligned}

مركبات خطية

a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \cdot \sin (x + φ)

حيث

φ = {\begin{cases} \arcsin (\frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}) & if a \geq 0, \\ π - \arcsin (\frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}) & if a < 0, \end{cases}

أو

φ = \arctan (\frac{b}{a}) + {\begin{cases} 0 & if a \geq 0, \\ π & if a < 0 . \end{cases}

a \sin x + b \sin (x + α) = c \sin (x + β)

حيث

c = \sqrt{a^{2} + b^{2} + 2 a b \cos α},

و

β = \arctan (\frac{b \sin α}{a + b \cos α}) + {\begin{cases} 0 & if a + b \cos α \geq 0, \\ π & if a + b \cos α < 0 . \end{cases}

مجاميع أخرى للدوال المثلثية

\sin φ + \sin (φ + α) + \sin (φ + 2 α) + \dots + \sin (φ + n α) = \frac{\sin (\frac{(n + 1) α}{2}) \cdot \sin (φ + \frac{n α}{2})}{\sin \frac{α}{2}} .

\cos φ + \cos (φ + α) + \cos (φ + 2 α) + \dots + \cos (φ + n α) = \frac{\sin (\frac{(n + 1) α}{2}) \cdot \cos (φ + \frac{n α}{2})}{\sin \frac{α}{2}} .

a \cos (x) + b \sin (x) = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \cos (x - atan2 (b, a))

\tan (x) + \sec (x) = \tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) .

\cot (x) \cot (y) + \cot (y) \cot (z) + \cot (z) \cot (x) = 1 .

تحويلات كسرية خطية معينة

f (x) = \frac{(\cos α) x - \sin α}{(\sin α) x + \cos α},

وبالمثل

g (x) = \frac{(\cos β) x - \sin β}{(\sin β) x + \cos β},

وعليه

f (g (x)) = g (f (x)) = \frac{(\cos (α + β)) x - \sin (α + β)}{(\sin (α + β)) x + \cos (α + β)} .

f_{α} \circ f_{β} = f_{α + β} .

دوال المعكوس المثلثية

\arcsin (x) + \arccos (x) = π / 2

\arctan (x) + arccot (x) = π / 2 .

\arctan (x) + \arctan (1 / x) = {\begin{matrix} π / 2, & if x > 0 \\ - π / 2, & if x < 0 \end{matrix}

مركبات الدوال المثلثية ومعكوساتها

$\sin [\arccos (x)] = \sqrt{1 - x^{2}}$	$\tan [\arcsin (x)] = \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
$\sin [\arctan (x)] = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$	$\tan [\arccos (x)] = \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}$
$\cos [\arctan (x)] = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$	$\cot [\arcsin (x)] = \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}$
$\cos [\arcsin (x)] = \sqrt{1 - x^{2}}$	$\cot [\arccos (x)] = \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

علاقة بالأس المركب

e^{i x} = \cos (x) + i \sin (x)

(صيغة ايولر),

e^{- i x} = \cos (- x) + i \sin (- x) = \cos (x) - i \sin (x)

e^{i π} = - 1

\cos (x) = \frac{e^{i x} + e^{- i x}}{2}

\sin (x) = \frac{e^{i x} - e^{- i x}}{2 i}

\tan (x) = \frac{e^{i x} - e^{- i x}}{i (e^{i x} + e^{- i x})} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}

حيث $i^{2} = - 1$ .

صيغة المضروب اللانهائي

\sin x = x \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - \frac{x^{2}}{π^{2} n^{2}})

\sinh x = x \prod_{n = 1}^{\infty} (1 + \frac{x^{2}}{π^{2} n^{2}})

\frac{\sin x}{x} = \prod_{n = 1}^{\infty} \cos (\frac{x}{2^{n}})

\cos x = \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - \frac{x^{2}}{π^{2} (n - \frac{1}{2})^{2}})

\cosh x = \prod_{n = 1}^{\infty} (1 + \frac{x^{2}}{π^{2} (n - \frac{1}{2})^{2}})

المتطابقات الخالية من المتغيرات

\cos 2 0^{\circ} \cdot \cos 4 0^{\circ} \cdot \cos 8 0^{\circ} = \frac{1}{8}

\prod_{j = 0}^{k - 1} \cos (2^{j} x) = \frac{\sin (2^{k} x)}{2^{k} \sin (x)} .

\cos \frac{π}{7} \cos \frac{2 π}{7} \cos \frac{3 π}{7} = \frac{1}{8},

\sin 2 0^{\circ} \cdot \sin 4 0^{\circ} \cdot \sin 8 0^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{8} .

\cos 2 4^{\circ} + \cos 4 8^{\circ} + \cos 9 6^{\circ} + \cos 16 8^{\circ} = \frac{1}{2} .

\cos (\frac{2 π}{21}) + \cos (2 \cdot \frac{2 π}{21}) + \cos (4 \cdot \frac{2 π}{21})

+ \cos (5 \cdot \frac{2 π}{21}) + \cos (8 \cdot \frac{2 π}{21}) + \cos (10 \cdot \frac{2 π}{21}) = \frac{1}{2} .

حساب π

\frac{π}{4} = 4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}

\frac{π}{4} = 5 \arctan \frac{1}{7} + 2 \arctan \frac{3}{79} .

بعض قيم الجيب وجيب التمام مفيدة لتقوية الذاكرة

\begin{matrix} \sin 0 & = & \sin 0^{\circ} & = & \sqrt{0} / 2 & = & \cos 9 0^{\circ} & = & \cos (\frac{π}{2}) \\ \sin (\frac{π}{6}) & = & \sin 3 0^{\circ} & = & \sqrt{1} / 2 & = & \cos 6 0^{\circ} & = & \cos (\frac{π}{3}) \\ \sin (\frac{π}{4}) & = & \sin 4 5^{\circ} & = & \sqrt{2} / 2 & = & \cos 4 5^{\circ} & = & \cos (\frac{π}{4}) \\ \sin (\frac{π}{3}) & = & \sin 6 0^{\circ} & = & \sqrt{3} / 2 & = & \cos 3 0^{\circ} & = & \cos (\frac{π}{6}) \\ \sin (\frac{π}{2}) & = & \sin 9 0^{\circ} & = & \sqrt{4} / 2 & = & \cos 0^{\circ} & = & \cos 0 \end{matrix}

قيم أخرى شيقة

\sin \frac{π}{7} = \frac{\sqrt{7}}{6} - \frac{\sqrt{7}}{189} \sum_{j = 0}^{\infty} \frac{(3 j + 1)!}{18 9^{j} j! (2 j + 2)!}

\sin \frac{π}{18} = \frac{1}{6} \sum_{j = 0}^{\infty} \frac{(3 j)!}{2 7^{j} j! (2 j + 1)!}

بـالنسبة الذهبية φ:

\cos (\frac{π}{5}) = \cos 3 6^{\circ} = \frac{\sqrt{5} + 1}{4} = φ / 2

\sin (\frac{π}{10}) = \sin 1 8^{\circ} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4} = \frac{φ - 1}{2} = \frac{1}{2 φ}

التفاضل والتكامل

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1,

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0,

\frac{d}{d x} \sin x = \cos x

\begin{aligned} \frac{d}{d x} \sin x & = \cos x, & \frac{d}{d x} \arcsin x & = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \\ \frac{d}{d x} \cos x & = - \sin x, & \frac{d}{d x} \arccos x & = \frac{- 1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \\ \frac{d}{d x} \tan x & = \sec^{2} x, & \frac{d}{d x} \arctan x & = \frac{1}{1 + x^{2}} \\ \frac{d}{d x} \cot x & = - \csc^{2} x, & \frac{d}{d x} arccot x & = \frac{- 1}{1 + x^{2}} \\ \frac{d}{d x} \sec x & = \tan x \sec x, & \frac{d}{d x} arcsec x & = \frac{1}{| x | \sqrt{x^{2} - 1}} \\ \frac{d}{d x} \csc x & = - \csc x \cot x, & \frac{d}{d x} arccsc x & = \frac{- 1}{| x | \sqrt{x^{2} - 1}} \end{aligned}

\int \frac{d u}{\sqrt{a^{2} - u^{2}}} = \sin^{- 1} (\frac{u}{a}) + C

\int \frac{d u}{a^{2} + u^{2}} = \frac{1}{a} \tan^{- 1} (\frac{u}{a}) + C

\int \frac{d u}{u \sqrt{u^{2} - a^{2}}} = \frac{1}{a} \sec^{- 1} | \frac{u}{a} | + C

تضمينات

تعاريف أسية

Function	Inverse function
$\sin θ = \frac{e^{i θ} - e^{- i θ}}{2 i}$	$\arcsin x = - i \ln (i x + \sqrt{1 - x^{2}})$
$\cos θ = \frac{e^{i θ} + e^{- i θ}}{2}$	$\arccos x = - i \ln (x + \sqrt{x^{2} - 1})$
$\tan θ = \frac{e^{i θ} - e^{- i θ}}{i (e^{i θ} + e^{- i θ})}$	$\arctan x = \frac{i}{2} \ln (\frac{i + x}{i - x})$
$\csc θ = \frac{2 i}{e^{i θ} - e^{- i θ}}$	$arccsc x = - i \ln (\frac{i}{x} + \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}})$
$\sec θ = \frac{2}{e^{i θ} + e^{- i θ}}$	$arcsec x = - i \ln (\frac{1}{x} + \sqrt{1 - \frac{i}{x^{2}}})$
$\cot θ = \frac{i (e^{i θ} + e^{- i θ})}{e^{i θ} - e^{- i θ}}$	$arccot x = \frac{i}{2} \ln (\frac{x - i}{x + i})$

$cis θ = e^{i θ}$	$arccis x = \frac{\ln x}{i}$

متفرقات

نواة ديراك

1 + 2 \cos (x) + 2 \cos (2 x) + 2 \cos (3 x) + \dots + 2 \cos (n x) = \frac{\sin [(n + \frac{1}{2}) x]}{\sin (\frac{x}{2})} .

صيغ امتدادات نصف الزاوية

اذا وضعنا

t = \tan (\frac{x}{2}),

\sin (x) = \frac{2 t}{1 + t^{2}} and \cos (x) = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} and e^{i x} = \frac{1 + i t}{1 - i t} .

ca:Llista d'identitats trigonomètriques cy:Rhestr unfathiannau trigonometrig de:Formelsammlung Trigonometrie List of trigonometric identities]] es:Identidades trigonométricas fa:فهرست اتحادهای مثلثاتی fr:Identité trigonométrique he:זהויות טריגונומטריות hi:त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची hu:Trigonometrikus azonosságok it:Identità trigonometrica ja:三角関数の公式の一覧 kk:Тригонометриялық үйлесімдіктер ko:삼각함수 항등식 lmo:Identitaa trigonométrica nl:Lijst van goniometrische gelijkheden no:Liste over trigonometriske identiteter pl:Tożsamości trygonometryczne pt:Identidade trigonométrica ro:Lista identităților trigonometrice ru:Тригонометрические тождества sv:Lista över trigonometriska identiteter th:รายชื่อเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ uk:Список тригонометричних тотожностей vi:Đẳng thức lượng giác zh:三角恒等式

مجهول

بحث