سلسلة ماركوف

ملف:MarkovChain1.png

نموذج سلسلة ماركوف في تحديد حالة الأسواق المالية

سلسلة ماركوف Markov Chain مصطلح في الرياضيات وهو عبارة عن عملية عشوائية (Stochastic Process) تحمل خاصية ماركوفية. في عملية كهذه، تكهُنُ المستقبل انطلاقا من الحاضر لا يحتاج إلى معرفة الماضي. ولقد أخذت اسم مبتكرها الروسي أندريا ماركوف .

سلسلة ماركوف في وقت متقطع هي السلسلة X₁, X₂, X₃,... متكونة من متغيرات عشوائية. مجموعة القيمات الممكنة تدعي فضاء الحالات. وX_n تدعى حالة العملية في الآن n.

إذا كان توزيع الاحتمال الشرطي لX_n+1 على الحالات الفارطة دالة وحده إذن $P(X_{n+1}=x|X_0,X_1,X_2,\dots ,X_n)=P(X_{n+1}=x|X_n).$. حيث x هي دالة ما في العملية. المعادلة هذه تعرف بالاحتمال الماركوفي.

نشر أندري ماركوف النتائج الأولى حول هذه العملية عام 1906م.

التعميم إلى فضاء حالات لا متناهية معدودة أتى من كلموكوروف في 1936م.

خاصية سلاسل ماركوف

سلسلة ماركوف تتبع التوزيع الاحتمالي الشرطي $P(X_{n+1}|X_n)$ الذي يدعى احتمال الانتقال بخطوة للعملية. احتمال الانتقال بخطوتين أو ثلاثة أو أكثر يقع الحصول عليها انطلاقا من احتمال الانتقال بخطوة وخاصية ماركوف هي:

$P(X_{n+2}|X_n)=\int P(X_{n+2},X_{n+1}|X_n)d{X}_{n+1}=\int P(X_{n+2}|X_{n+1})P(X_{n+1}|X_n)d{X}_{n+1}$

وبنفس الطريقة، يمكن :

$P(X_{n+3}|X_n)=\int P(X_{n+3}|X_{n+2})\int P(X_{n+2}|X_{n+1})P(X_{n+1}|X_n)d{X}_{n+1}d{X}_{n+2}$

وهذه المعادلات يمكن تعميمها إلى مستقبل بعيد نسبيا n  +  k بضرب أحتمالات الانتقال وبإجراء عملية التكامل k من المرّات.

والتوزيع الحالي (P (X_n هو توزيع الحالات في الوقت n. التوزيع الأول هو (P (X₀. وتطور العملية الأحتمالية بعد خطوة يمكن كتابته كالآتي:

$P(X_{n+1})=\int P(X_{n+1}|X_n)P(X_n)d{X}_n$

وهذه هي كتابة من كتابات معادلة برون-فروبنيوس.

ويمكن أن توجد واحدة أو أكثر من توزيعات الحالات π بحيث أن:

$\pi (X)=\int P(X|Y)\pi (Y)dY$

حيث Y هو اسم مختار لمتغير التكامل. هذا التوزيع π يدعى "توزيع غير مبدل". والتوزيع غير المتبدل هو دالة مميزة للتوزيع الشرطي، المرتبطة بالقيمة الذاتية 1.

مواضيع متعلقة

• مبرهنة برون-فروبنيوس

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

هذه بذرة مقالة عن الرياضيات تحتاج للنمو والتحسين، فساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

af:Markovketting bg:Марковска верига ca:Cadena de Màrkov cs:Markovův řetězec da:Markov-kæde de:Markow-Kette el:Αλυσίδα Μαρκόφ Markov chain]] es:Cadena de Markov et:Markovi ahel eu:Markov kate fa:فرایند مارکف fi:Markovin ketju fr:Chaîne de Markov gl:Cadea de Markov he:שרשרת מרקוב hr:Markovljev lanac hu:Markov-lánc is:Markov-keðja it:Processo markoviano ja:マルコフ連鎖 ko:마르코프 연쇄 lt:Markovo grandinė nl:Markov-keten pl:Łańcuch Markowa pt:Cadeias de Markov ro:Lanț Markov ru:Цепь Маркова sh:Markovljev lanac simple:Markov chain sr:Ланци Маркова su:Ranté Markov sv:Markovkedja tr:Markov zinciri uk:Ланцюги Маркова ur:مارکوو زنجیر vi:Xích Markov zh:马尔可夫链