دالة التوزيع التراكمي

ملف:Normal Distribution CDF.svg

دالة التوزيع التراكمي للتوزيعات الطبيعية في الصورة أدناه.

ملف:Normal Distribution PDF.svg

دالة الكثافة الاحتمالية لعدة توزيعات طبيعية حيث يمثل اللون الأحمر التوزيع الطبيعي القياسي.

دالة التوزيع التراكمي (بالإنكليزية: Cumulative distribution function) في علم الإحصاء ونظرية الاحتمالات هي دالة تحدد ما هو احتمال أن تكون قيمة متغير عشوائي ما (س) أقل من أو تساوي قيمة معينة (د). أو بمعنى آخر، فإنها دالة تعطي توزيع الاحتمالات لمتغير عشوائي على أن تكون قيمته عددا حقيقيا. وينبغي عدم الخلط بين دالة التوزيع التراكمي ودالة الكثافة الاحتمالية أو دالة الكتلة الاحتمالية الخاصة بالمتغيرات العشوائية المنفصلة.

التعريف الرياضي

في الفضاء الاحتمالي $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },P)$ حيث:

• $\mathrm{\Omega }$ تمثل مجموعة غير خالية, تدعى فضاء العينة.

• ${ℱ}$ هو σ-جبر لفضاء العينة التي ندعو كل عنصر من عناصرها :(حدث).

• $P$ يمثل قياس احتمالي

والمتغير العشوائي الحقيقي معرف حسب التالي: $$\begin{gathered} X: \\ \mathrm{\Omega }\to \mathbb{ℝ} \end{gathered}$$ ودالة التوزيع التراكمي المعرفة كما يلي: $F_X:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ تحدد ما هي احتمالية أن تكون قيمة المتغير العشوائي أقل أو تساوي قيمة حقيقية معطاة.

$F_X(x)=P(X\le x)x\in \mathbb{ℝ}.$

كما يمكن تحديد احتمالية أن تكون قيمة المتغير العشوائي أكثر من $a$ وأقل من أو يساوي $b$.

$P(a<X\le b)=P(X\le b)-P(X\le a)=F(b)-F(a)$

مثال

عند رمي زهر النرد، فاحتمالية أن يكون الرقم الظاهر بين 3 و 5 هي:

$P(2<X\le 5)=F(5)-F(2)=\frac{5}{6}-\frac{2}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

كذلك يمكن تعريف دالة التوزيع التراكمي بدلالة دالة الكثافة الاحتمالية بإجراء التكامل.

$F(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}f(t)dt.$

da:Fordelingsfunktion de:Verteilungsfunktion Cumulative distribution function]] eo:Distribuo fa:تابع توزیع تجمعی fr:Fonction de répartition he:פונקציית הצטברות hu:Eloszlásfüggvény it:Funzione di ripartizione ka:ალბათური განაწილების ფუნქცია ko:누적 분포 함수 nl:Verdelingsfunctie no:Kumulativ fordelingsfunksjon pl:Dystrybuanta pt:Função distribuição acumulada ru:Функция распределения sk:Distribučná funkcia (štatistika) sl:Zbirna funkcija verjetnosti sr:Функција расподеле su:Fungsi sebaran kumulatif sv:Kumulativ fördelningsfunktion tr:Birikimli dağılım fonksiyonu uk:Функція розподілу ймовірностей vi:Hàm phân phối tích lũy zh:累积分布函数