دالة تكعيبية

ملف:Polynomialdeg3.png

مخطط الدالة التكعيبية، جذور الدالة هي عند تقاطع المخطط مع محور السينات x.

في الرياضيات، تعرف الدالة التكعيبية على أنها دالة رياضية لها الشكل التالي:

د(س) = ا س^٣ + ب س^٢+ حـ س + د

$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$

حيث a لا يساوي الصفر. أو هي كثير حدود من الدرجة الثالثة.

مشتق الدالة التكعيبية هي دالة تربيعية، وتكامل الدالة التكعيبية هي دالة من الدرجة الرابعة.

في حال كان $f(x)=0$ يصبح لدينا "معادلة تكعيبية" أو معادلة من الدرجة الثالثة :

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$

بحيث :$a\ne 0$. لاحظ انه لو كانت a = 0 فتصبح معادلة تربيعي. أما لو كان a وb مساويين لصفر لأصبحت معادلة خطية.

عادة، تكون$a,b,c,d$ أرقاما صحيحة. والنظرية تبقى صالحة ان تبعوا حقل جبري بخصائص غير 2 و 3.

جذور المعادلة

حل المعادلة التكعيبية يعنى ايجاد الجذر التكعيبي للدالة التكعيبية وهو ليس بالأمر السهل كما في معادلة الدرجة الثانية. يمكن إثبات القانون العام لجذور معادلة الدرجة الثالثة إما باستخدام صيغة غادان أو الإثبات العكسي (بضرب الجذور الثلاثة في بعضها):

القانون العام للجذور

تعطى الصيغة العامة لجذور معادلة الدرجة الثالثة، ا س^٣ + ب س^٢+ حـ س + د =٠ ، $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ بدلالة معاملاتها $a,b,c,d$ كما يلي:

$\begin{array}{rl}{x}_1=& -\frac{b}{3a}\\ & -\frac{1}{3a}\sqrt[3]{\frac{2b^3-9abc+27a^{2}d+\sqrt{{(2b^3-9abc+27a^{2}d)}^2-4{(b^2-3ac)}^3}}{2}}\\ & -\frac{1}{3a}\sqrt[3]{\frac{2b^3-9abc+27a^{2}d-\sqrt{{(2b^3-9abc+27a^{2}d)}^2-4{(b^2-3ac)}^3}}{2}}\\ x_2=& -\frac{b}{3a}\\ & +\frac{1+i\sqrt{3}}{6a}\sqrt[3]{\frac{2b^3-9abc+27a^{2}d+\sqrt{{(2b^3-9abc+27a^{2}d)}^2-4{(b^2-3ac)}^3}}{2}}\\ & +\frac{1-i\sqrt{3}}{6a}\sqrt[3]{\frac{2b^3-9abc+27a^{2}d-\sqrt{{(2b^3-9abc+27a^{2}d)}^2-4{(b^2-3ac)}^3}}{2}}\\ x_3=& -\frac{b}{3a}\\ & +\frac{1-i\sqrt{3}}{6a}\sqrt[3]{\frac{2b^3-9abc+27a^{2}d+\sqrt{{(2b^3-9abc+27a^{2}d)}^2-4{(b^2-3ac)}^3}}{2}}\\ & +\frac{1+i\sqrt{3}}{6a}\sqrt[3]{\frac{2b^3-9abc+27a^{2}d-\sqrt{{(2b^3-9abc+27a^{2}d)}^2-4{(b^2-3ac)}^3}}{2}}\end{array}$

صيغة غاردان

كان غاردان عالما رياضيا, فيزيائيا وفلكيا وقد استطاع أن ينشر هذه الصيغة في كتابه عام 1545م. كانت الطريقة تقتضي الاتي:

• أولا تبسيط المعادلة القياسية لتصبح على الشكل

$x^3+a{x}^2+bx+c=0(1).$

• ثم التخلص من معامل الدرجة الثانية باستخدام التعويض المناسب $x=t-a/3$ لتصبح المعادلة بالشكل الجديد:

$t^3+pt+q=0(2)$

حيث

$p=b-\frac{a^2}{3}\text{and}q=c+\frac{2a^3-9ab}{27}.$

• وبتعويض مناسب :$u+v=t$ في المعادلة (2) يمكن الحصول على:

$u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0(3)$.

• وهنا افترض غاردانو حدا جديدا للمتغيرات u وv بحيث $3uv+p=0$
• عند دمج هذه في (3) بتعويض v نحصل على:

$u^6+q{u}^3-\frac{p^3}{27}=0.$

• يمكن ملاحظة أن هذه معادلة من الدرجة السادسة التي يمكن أن تبسط إلى الدرجة الثانية في u³ وتحل مباشرة لتصبح:

$u^3=-\frac{q}{2}\pm \sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}$

وبالتالي:

$u=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}\pm \sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}(4)$

• ولما كانت t == v + u, t = x + a/3, وv == −p/3u, نجد أن:

$x=-\frac{p}{3u}+u-\frac{a}{3}.$

لاحظ أنه يوجد 6 احتمالات لحساب u في(4), وذلك لأن الجذر التربيعي يحمل احتمالين ($\pm$) والجذور ثلاثة. ولكن الجذر التربيعي ليس له تأثير على القيمة الناتجة t (ومع ذلك يجب الانتباه للحالات الثلاث لتجنب القسمة على صفر):

أولا, إذا كانت p = q = 0, فإنه لدينا ثلاثة جذور حقيقية

$t=0.$

ثانيا, إذا كانت p = 0 وq ≠ 0, فإن:

$u=0\text{ and }v=-\sqrt[3]{q}.$

ثالثا أذا كانت p ≠ 0 وq = 0 فإن:

$u=\sqrt{\frac{p}{3}}\text{and}v=-\sqrt{\frac{p}{3}},$

وفي أي من الحالات تكون الجذور الثلاثة هي:

$t=u+v=0,t={\omega }_{1}u-\frac{p}{3{\omega }_{1}u}=\sqrt{-p},t=\frac{u}{{\omega }_1}-\frac{{\omega }_{1}p}{3u}=-\sqrt{-p},$

حيث

${\omega }_1=e^{i\frac{2\pi }{3}}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}.$

الخلاصة

من أجل حل المعادلة التكعيبية

$x^3+a{x}^2+bx+c=0$

تعطى جذور x بالشكل:

$x=u-\frac{p}{3u}-\frac{a}{3}$

حيث

$p=b-\frac{a^2}{3}$

$q=c+\frac{2a^3-9ab}{27}$

$u=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}\pm \sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$

انظر إيضا

• معادلة حدودية

وصلات خارجية

• طريقة كاردانو لحل المعادلات التكعيبية على شبكة الرياضيات رمز

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

ca:Equació de tercer grau cs:Cardanovy vzorce cy:Ffwythiant ciwbig da:Tredjegradsligning de:Kubische Gleichung Cubic function]] es:Ecuación de tercer grado fi:Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava fr:Équation cubique he:משוואה ממעלה שלישית hi:घन फलन hr:Kubna funkcija hu:Harmadfokú egyenlet id:Fungsi kubik it:Funzione cubica ja:三次関数 km:អនុគមន៍ដឺក្រេទី៣ ko:삼차 방정식 lo:ຕຳລາຂັ້ນສາມ nl:Derdegraadsvergelijking pl:Równanie sześcienne pt:Equação cúbica ro:Funcție algebrică de gradul trei ru:Кубическое уравнение sk:Kubická funkcia sr:Кубна једначина sv:Tredjegradsekvation ta:முப்படியச் சமன்பாடு th:สมการกำลังสาม uk:Кубічне рівняння vi:Phương trình bậc ba zh:三次方程