دالة أسية

ملف:Exp.svg

الدالة الأسية تكاد تكون أفقية عند القيم السلبية للأس عندما يكون الأساس >1، ثم تتزايد بسرعة في القيم الإيجابية، وتساوي 1 عندما تساوي قيمة س الصفر.

الدالة الأسية كل دالة من الشكل $f(x)=a^x$ حيث نرفق بكل عدد موجب تماما a العدد $a^x$ وx عدد حقيقي(اذا كان aموجب تماما واصغر من1 فان الدالة $a^x$ تكون متناقصة.اذا كان a أكبر من 1 فان الدالة تكون متزايدة وهو ما يسمى بالتزايد الاسي والتناقص الاسي(في حالة aاصغر من1)

خواص الأسس

ملف:Exp tangent.svg

مشتق الدالة الأسية مساو لقيمة الدالة. لكل نقطة من المنحنى (الأزرق)، إذا رسم الخط المماس (الأحمر) والخط العمودي (الأخضر) كما هو مبين، فستكون للمثلث الذي يحددانه مع المحور الأفقي قاعدة طولها 1 (الأخضر). فيكون انحدار الخط المماس (المشتق) في النقطة مساويا لارتفاع المثلث (قيمة الدالة).

التعريف الجبري للدالة الأسية هو أنها تحول المجموع إلى جداء

a⁰=1 وa¹=a

الدالة العكسية للدالة الأسية هي اللوغاريتم(log) ذو الأساس a حيث تحول $a^x$ إلى x وهي تحول الجداء إلى مجموع :

$log(a^x)=xlog(a)$

حيث x عدد حقيقي (ملاحظة الرمز log في هذه المقالة ينطبق على أي لوغاريتم).

من أهم الدوال الأسية المستعملة في العلوم مثل كالفيزياء النووية و الفيزياء الذرية والكهرباء و الهندسة الكهربائية هي الدالة ذات الأساس e أي $e^x$.

حيث أنها الدالة الوحيدة التي تحقق الشرطين : $f^{\prime }=f$ ، و $f(0)=1$.

أي هي حل للمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى.

مثال قانون التحلل الاشعاعي لنواة الذرة:

$N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}$

وتعطينا تلك المعادلة الأسية عدد الأنوية (N(t التي لم تتحلل بعد مرور الزمن t من مجموع أنوية الذرات N_0 الكلي عند البداية (عند t=0).

وتعتمد :$\lambda$

على نوع الذرات الموجودة في العينة ، وهي خاصية من خصائص العناصر المشعة، و تختلف لليورانيوم عن البلوتونيوم وعن البوتاسيوم-40 مثلا. ووحدتها 1/ثانية.

مثال آخر :

ص = أ مرفوع للقوة س،

حيث أ > صفر.

أي أن الدالة الأسية بصفة عامة :

X=yⁿ

الدالة الأسية للأساس الطبيعي e

هناك الحالة الخاصة عندما يكون الأساس هو الثابت الطبيعي e

وتكتب باللغة الإنجليزية:

(x=exp(n

ملف:Series RC capacitor voltage.svg

تزايد جهد المكثف مع الزمن يتبع دالة أسية للأساس e.

حيث n هو الأُس للأساس الثابت الطبيعي والذي يساوي 2.718281828

وتوجد في الآلات الحاسبة لكثرة استعمالها.

أو بالتفصيل :

x=eⁿ

للدالة الأسية للأساس الطبيعي e أهمية كبرى في الفيزياء (مثل :تناقص الضغط الجوي بالارتفاع عن سطح الأرض) والكيمياء (مثل : معدل مسيرة التفاعل مع الزمن) والدارات الإلكترونية حيث تتزايد مثلا شحنة مكثف طبقا للدالة الأسية مع الزمن حتى تكتمل سعة المكثف. وإذا عملنا على تفريغ المكثف من شحنته يتبع معدل تفريغ الشحنة مع الزمن نفس الدالة الأسية الطبيعية.

• ويكون الأس n دائما عددا مطلقا ، لكنه يتكون عادة من جزئين ، ففي حالة المكثف الكهربائي على سبيل المثال يكون n=t.cحيث t الزمن ثانية و c خاصية للمكثف وحدتها [1/ثانية].

• يعطينا الشكل المجاور الشكل المميز للدالة الأسية للأساس e. وطبقا لها تتغير الشحنة الكهربائية الواردة على المكثف مع الزمن حتى يمتلئ تماما.

أمثلة

مثال للدالة الأسية

تزايد الميكروبات : ينقسم الميكروب إلى نصفين مكونا ميكروبين ، وينقسم كل منهما إلى نصفين فيصبحوا أربعة ميكروبات. ثم تنقسم الأربعة ميكروبات وتصبح ثمانية ميكروبات.

أي يبلغ عدد الميكروبات بعد 3 انقسامات :

N=2³

N=8

فإذا أردنا معرفة عدد الميكروبات بعد 6 انقسامات ، صغنا المعادلة كالآتي:

N=2⁶

N=64

أي أن عدد الميكروبات الناتجة عن ميكروب واحد بعد ستة انقسامات يبلغ 64 ميكروبا.

مثال للدالة الأسية للأساس الطبيعي e

التزايد السكاني : يبلغ عدد سكان إحدى المدن 4 ملايين نسمة، فما عدد سكان المدينة بعد ستة سنوات إذا كان معدل تزايد السكان السنوي 2,5 %؟

N=4. e^0,025.6

أو :

N=4. Exp(0,025.6)

مليون نسمة N=4,647

مثال 3 :

تكون النجوم : تتزايد كتلة أحد النجوم عن طريق اجتذابه لمادة حوله بمعدل 2و0 % سنويا، فما تكون كتلته بعد 170 سنة ؟.

N=1. e^0,002.170

N=1. e^0,34

أي تزيد كتلته بنسبة 40و1 خلال 170 سنة.

اقرأ أيضاً

• تغير الضغط بالارتفاع
• توزيع بولتزمان
• احصاء ماكسويل-بولتزمان

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

br:Argemmvac'henn bs:Eksponencijalna funkcija ca:Funció exponencial cs:Exponenciální funkce da:Eksponentialfunktion de:Exponentialfunktion Exponential function]] eo:Eksponenta funkcio es:Función exponencial fa:تابع نمایی fi:Eksponenttifunktio fr:Fonction exponentielle he:אקספוננט hi:चरघातांकी फलन hu:Exponenciális függvény id:Fungsi eksponensial io:Exponentala it:Funzione esponenziale ja:指数関数 ka:მაჩვენებლიანი ფუნქცია ko:지수 함수 lt:Eksponentinė funkcija nl:Exponentiële functie no:Eksponentialfunksjon pl:Funkcja wykładnicza pms:Fonsion esponensial pt:Função exponencial ro:Funcție exponențială ru:Показательная функция simple:Exponential function sk:Exponenciálna funkcia sl:Eksponentna funkcija sr:Експоненцијална функција sv:Exponentialfunktion tr:Üstel fonksiyon uk:Показникова функція ur:اسی دالہ zh:指数函数