حساب التغيرات

يرتبط حساب التغيرات بفرع التحليل الدالي. ويعنى تحديدا بدراسة الدوال (أي التطبيقات التي يكون مستقرها R أو C) التي يكون منطلقها فضاء متجهي دالي (فضاء عناصره عبارة عن دوال) أو بصيغة أخرى دراسة التابعيات المعرفة على فضاءات الدوال.

الهدف من حساب التغيرات هو إيجاد القيم القصوى (الدنيا أو العليا) لتابعي معين وكذا الدوال (من مجموعة الانطلاق) التي تحقق هذه القيم. مثال على ذلك إيجاد مسار الضوء بين نقطتين أي أسرع طريق, حيث التابعي الذي يجب دراسته في هذا المثال هو التابعي الذي يربط كل طريق (معرف كدالة) بالزمن المستغرق.

معادلة Euler–Lagrange

المبرهنة التالية تمكن من حل العديد من مسائل حساب التغيرات وتحمل اسم Euler–Lagrange.

ليكن J تابعي معرف ب :

$J(x)=\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}f(t,x\left(t\right),\dot{x}\left(t\right))\mathrm{d}t=\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}f(t,x\left(t\right),\frac{\partial x\left(t\right)}{\partial t})\mathrm{d}t$

حيث $f$ تقبل مشتقات متصلة من الدرجة الأولى (أي $C^{1}f$).

لكي تحقق $x$ قيمة قصوية يجب أن تحقق المعادلة التالية (شرط لازم) :

$\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{x}}\right)=0$.

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

هذه بذرة مقالة عن الرياضيات تحتاج للنمو والتحسين، فساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

bg:Вариационно смятане de:Variationsrechnung Calculus of variations]] eo:Variada kalkulo es:Cálculo de variaciones fa:حسابان تغییرات fr:Calcul des variations he:חשבון וריאציות it:Calcolo delle variazioni ja:変分法 kk:Варияциалық қисап ko:변분법 mt:Kalkulu tal-varjazzjonijiet nl:Variatierekening nn:Variasjonsrekning pl:Rachunek wariacyjny pms:Càlcol dle variassion pt:Cálculo de variações ru:Вариационное исчисление sk:Variačný počet sl:Variacijski račun sq:Analiza e variacionit sv:Variationskalkyl uk:Варіаційне числення zh:变分法