ثابت فيثاغورس

ملف:Square root of 2 triangle.png

الجذر التربيعي للعدد 2 قطر المثلث القائم الذي طول كل ضلع من أضلاعه القائمة مساو ل1.

الجذر التربيعي للعدد 2، هو ثابت رياضي ، والمعروف أيضا باسم ثابت فيثاغورس، وهو العدد الموجب الذي إذا ضربته بنفسه تحصل على 2.

هو العدد غير نسبي الأول، وهندسيا هو قطر المثلث القائم الذي طول كل ضلع من أضلاعه القائمة مساو ل1، ايجاد الجذر التربيعي ل2 كان طبعا بفضل نظرية فيثاغورس.

قيمته إلى الرقمِ العشريِ الخامس والستين هو:

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799

تقريبه بالكسور $\frac{99}{70}$ (يساويه حتى المنزلة العشرية الرابعة).

تاريخ الجذر التربيعي للعدد 2:

ملف:Ybc7289-bw.jpg

لوح نحاسي بابلي (1800 حتي 1600 قبل الميلاد)مع تفسيرات

التقريب الأول لهذا العددِ وُجِدَ على لوح نحاسي بابلي (1800 حتي 1600 قبل الميلاد) يعطي تقريب ل $\sqrt{2}$ حتى 4 خانات عشرية :

$.1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{10}{60^3}=1.41421\overline{296}$

كما وُجِدَ هذا العددِ في النصوصِ الرياضيةِ الهنديةِ القديمةِ (800-200 قبل الميلاد)والمدعو "شولبا سوترا"، والتي عبّرت عن كالتّالي: $.1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\cdot 4}-\frac{1}{3\cdot 4\cdot 34}=\frac{577}{408}\approx 1.41421\overline{5686}$

التقريب الهندي القديم عبارة عن الحد السابع بمتوالية فيل، الاعداد التي تلي هذا الحد بمتوالية فيل تعطي تقريب أفضل ل $\sqrt{2}$.

اكتشاف الاعداد الغير نسبية تم على يد هيباسوس/ وهو من متبعي المدرسة الفيثاغورية(متبعي فيثاغورس) ، وهو بدوره وجد ان $\sqrt{2}$ هو عدد غير نسبي.

طرق لحساب الجذر التربيعي للعدد 2:

هناك طرق عديدة لايجاد الجذر التربيعي للعدد 2 منها: طريقة ايجاد الجذر التربيعي، احداها هي الطريقة البابلية. طريقة أخرى هي الاستعابة بمتوالية فيل (كلما تقدمنا بايجاد الحدود وجدنا ان القيمة تقترب أكثر واكثر إلى القيمة الدقيقة للجذر التربيعي للعدد 2)، يمكن التغبير عن ذلك بواسطة الكسر:

$\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\ddots }}}}}$

من هذا الكسر نتوصل إلى المتوالية تقريبات كسرية هي: $\frac{3}{2},\frac{7}{5},\frac{17}{12},\frac{41}{29},\frac{99}{70},\dots$.

في سنة 1996 تم التوصل إلى 137,438,953,444 (כ-137.4 مليارد) منازل بعد الفاصلة العشرية للجذر التربيعي للعدد 2, على يد الرياضي الياباني، ياسوما قانادا. في سنة 2006 تم تحطيم الرقم القياسي وتم التوصل إلى المنزلة ال200 مليارد بعد الفاصلة العشرية. الحساب تم عن طريق الحاسوب واستمر لمدة 13 يوم و14 ساعة.

استخدامات

من اجل ان تكون النسبة بين ضلعي ورقة دفتر مساوية للنسبة بين ضلعي نصف الورقة يجب على النسبة ان تكون مساوية للجذر التربيعي للعدد 2.لذا قياسات الاوراق المقبولة هي تقريب جيد للجذر التربيعي للعدد 2، فعلى سبيل المثال ورقة الA4 هو 210 على 297 مليمتر يعطي نسبة دقيقة حتى المنزلة العشرية الرابعة للجذر التربيعي للعدد 2.

المصادر

• Apostol, Tom M. (2000), "Irrationality of the square root of two – A geometric proof", American Mathematical Monthly 107 (9): 841–842, doi:10.2307/2695741, [١] ‎.
• Aristotle (2007), Analytica priora, eBooks@Adelaide ‎
• Bishop, Errett (1985), Schizophrenia in contemporary mathematics. Errett Bishop: reflections on him and his research (San Diego, Calif., 1983), 1--32, Contemp. Math. 39, Amer. Math. Soc., Providence, RI.
• Flannery, David (2005), The Square Root of Two, Springer-Verlag, ISBN 0-387-20220-X ‎.
• Fowler, David; Robson, Eleanor (1998), "Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context", Historia Mathematica 25 (4): 366–378, doi:10.1006/hmat.1998.2209, [٢] ‎.

de:Wurzel 2 Square root of 2]] eo:Kvadrata radiko de 2 es:Raíz cuadrada de 2 fa:ریشه دوم ۲ fi:Neliöjuuri 2 fr:Racine carrée de deux he:השורש הריבועי של 2 it:Radice quadrata di 2 ja:2の平方根 ko:2의 제곱근 ms:Punca kuasa dua 2 nl:Wortel 2 no:Kvadratroten av 2 pl:Pierwiastek kwadratowy z 2 pt:Raiz quadrada de dois ru:Квадратный корень из 2 sl:Kvadratni koren od 2 sv:Kvadratroten ur 2 th:กรณฑ์ที่สองของสอง tr:Karekök 2 zh:2的算術平方根