الحركة التوافقية البسيطة

الحركة التوافقية البسيطة هي الحركة التي تكرر نفسها كل فترة زمنية، وتكون سعة اهتزاز الحركة ثابتة ,تتناسب العجلة مع أزاحة الجسم من موضع الأتزان ويكون اتجاهها دائما إلى موضع الأتزان.

وتوصف هذه الحركة بسعة الاهتزاز (وهي موجبة دائما) والزمن الدوري (الزمن الذي يستغرقه الجسم لعمل أهتزازة كاملة) والتردد (عدد الأهتزازات في الثانية الواحدة) وأخيرا الطور الذي يحدد مكان بدأ الحركة على منحنى ال Sine، ويكون كل من التردد والزمن الدوري ثابتان اما سعة الاهتزاز والطور فيتم تحديدهما عن طريق الشروط الابتدائية للحركة.

المعادلة العامة التي تصف الحركة التوافقية البسيطة هي $x(t)=A\cos (2\pi ft+\varphi )$ حيث x يمثل الأزاحة و A هو سعة الاهتزاز و f هو التردد و t الزمن و$\varphi$ هو الطور. عند انعدام الإزاحة عند بداية الحركة عند t = 0 فإن الطور يساوي $\varphi =\frac{\pi }{2}$.

ملف:Simple harmonic motion animation.gif

حركة توافقية بسيطة (جسيم متأثر بموجة بحر).

مقدمة

ملف:Simple Harmonic Motion Orbit.gif

حركة توافقية بسيطة (كتلة على زنبرك وحركة على دائرة)

من أفضل الأمثلة للحركة التوافقية البسيطة هو الكتلة المثبتة في زنبرك.

في حالة عدم تمدد الزنبرك لا تؤثر أي قوة على الكتلة المثبتة، أي يكون النظام متزن ومستقر. وعند ابتعاد الكتلة عند موضع الاستقرار أو الأتزان سيقوم الزنبرك ببذل قوة لإعادتهامرة أخرى إلى موضعها الأصلي، وتعطى هذه القوة حسب قانون هوك بالعلاقة : $F=-kx$ حيث F هي القوة التي يولدها الزنبرك و x الأزاحة و k ثابت الزنبرك.

عامة أي نظام يتحرك بحركة توافقية بسيطة يحتوي على سمتان رئيسيتان.أولا عند التحرك بعيدا عن مركز الأتزان يتم بذل قوة لإعادة النظام مرة أخرى إلى وضع الأتزان، القوة المبذولة تتناسب طرديا مع الأزاحة التي يقوم بها النظام، والمثال الذي تناولناه (الكتلة المثبتة بالزنبرك)يحقق السمتان. وعندها تظهر قوة الأستعادة مرة أخرى وتقوم بإبطائها تدريجيا حتى تنعدم سرعتها في النهاية وتصل إلى موضع الأتزان في النهاية.

و إذا لم تفقد الكتلة طاقتها ستستمر في الاهتزاز، لذا فهي حركة دورية تتكرر كل فترة زمنية وسنوضح بعد ذلك أنها حركة توافقية بسيطة.

رياضيا

تعرف الحركة التوافقية البسيطة بالمعادلة التفاضلية $m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-kx$ حيث k ثابت موجب القيمة و m كتلة الجسم و x الأزاحة. وباستخدام السرعة الزاوية $\omega$ التي تعرف كالتالي :

$\omega =2\pi f=2\pi /T,$

فإن ازاحة الجسم في الحركة التوافقية البسيطة تعرف كالتالي (1):

$x(t)=A\cos (\omega t+\varphi ).$ (استخدام الدالة Sine أو Cosine لن يحدث فرقا قالناتج النهائي في معادلة 4 سيكون ثابت في الحالتين)

وبتفاضل العلاقة مرة نحصل على السرعة عند أي زمن (2):

$v(t)=\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}=-A\omega \sin (\omega t+\varphi ).$

وبتفاضل العلاقة مرتين نحصل على العجلة عند أي زمن (3) :

$a(t)=\frac{{\mathrm{d}}^{2}x(t)}{\mathrm{d}{t}^2}=-A{\omega }^2\cos (\omega t+\varphi ).$

وبالتعويض بالمعادلة (1) في المعادلة (3) نحصل على علاقة بين العجلة والأزاحة (4) :

$a(t)=\frac{{\mathrm{d}}^{2}x(t)}{\mathrm{d}{t}^2}=-A{\omega }^2\cos (\omega t+\varphi ).$

والتي تساوي : $a(t)=-{\left(2\pi f\right)}^{2}x(t)$

أمثلة

ملف:Simple harmonic oscillator.gif

كتلة مثبتة في زنبرك - حركة توافقية بسيطة.

هناك العديد من الأمثلة على الحركة التوافقية البسيطة سنتناول البعض منها.

كتلة مثبتة في زنبرك

الكتلة (m) المثبتة في زنبرك بثابت (k) تتحرك حركة توافقية بسطية بعجلة زاوية :

$$\begin{gathered} \omega =2\pi \\ f=\sqrt{\frac{k}{M}}. \end{gathered}$$

ويمكن إيجاد الزمن الدوري بالعلاقة :

$T=\frac{1}{f}=2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}.$

يعتمد الزمن الدوري على كل من سعة الاهتزاز وعجلة الجاذبية الأرضية.

الحركة الدائرية

يمكن اعتبار الحركة التوافقية البسيطة في بعض الأحيان على أنها إسقاط أحادي البعد لحركة دائرية، عند دوران جسم بسرعة زاوية $\omega$ على دائرة قطرها R حول نقطة الأصل في محاور x-y فإن إسقاط موضع الجسم على محور x ومحور y يمثلان حركة توافقية بسيطة بسعة اهتزاز R وسرعة زاوية $\omega$.

البندول البسيط

ملف:Simple Pendulum Oscillator.gif

البندول البسيط يتحرك حركة توافقية بسيطة إذا كانت سعة الاهتزاز صغيرة جدا.

تعد حركة البندول البسيط حركة توافقية بسيطة والزمن الدوري للكتلة المثبتة في خيط بندول طوله $\ell$ وعجلة جاذبية أرضية $g$ يعطى بالعلاقة :

$T=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g}}$

الزمن الدوري يعتمد على كل من سعة الاهتزاز وكتلة البندول.

تكون هذه العلاقة دقيقة في حالة الزوايا الصغيرة لأن العجلة الزاوية تتناسب مع جيب الموضع:

$\ell mg\sin (\theta )=I\alpha$

حيث I هو عزم القصور الذاتي ويعطى بالعلاقة : $I=m{\ell }^2$ وعندما تكون الزاوية $\theta$ صغيرة جدا يكون $\sin (\theta )\approx \theta$ فتصبح العلاقة :

$\ell mg\theta =I\alpha$

أي ان العجلة الزاوية تتناسب مع $\theta$ (عجلة تتناسب مع أزاحة) وذلك يحقق شرط الحركة التوافقية البسيطة.

el:Απλή αρμονική ταλάντωση Simple harmonic motion]] es:Movimiento armónico simple et:Lihtvõnkumine is:Einföld hreintóna sveifla pl:Ruch harmoniczny pt:Movimento harmônico simples zh:簡諧運動