اشتقاق (أمثلة)

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مثال 1

لنعتبر $f(x)=5$:

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{5-5}{h}=0$

مثال 2

لنعتبر $f(x)=2x-3$:

$f^{\prime }(4)$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(4+h)-f(4)}{h}$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2(4+h)-3-(2\cdot 4-3)}{h}$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{8+2h-3-8+3}{h}$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2h}{h}=2$

مثال 3

لنعتبر $f(x)=x^2$ :

$f^{\prime }(x)$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(x+h{)}^2-x^2}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2xh+h^2}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }(2x+h)=2x$

مثال 4

$f^{\prime }(x)$	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$
	$=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

مثال 5

$f^{″}(x)$	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x+h)-f^{\prime }(x)}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{2\sqrt{x+h}}-\frac{1}{2\sqrt{x}}}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(\frac{1}{2\sqrt{x+h}}-\frac{1}{2\sqrt{x}})(2\sqrt{x+h}+2\sqrt{x})}{h(2\sqrt{x+h}+2\sqrt{x})}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x+h}}-\frac{2\sqrt{x+h}}{2\sqrt{x}}}{h(2\sqrt{x+h}+2\sqrt{x})}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{x}{\sqrt{x}\sqrt{x+h}}-\frac{x+h}{\sqrt{x}\sqrt{x+h}}}{h(2\sqrt{x+h}+2\sqrt{x})}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{-h}{\sqrt{x}\sqrt{x+h}}}{h(2\sqrt{x+h}+2\sqrt{x})}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{-1}{\sqrt{x}\sqrt{x+h}(2\sqrt{x+h}+2\sqrt{x})}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{-1}{2\sqrt{x}(x+h)+2x\sqrt{x+h}}$
	$=\frac{-1}{4x\sqrt{x}}$
	$=\frac{1}{4x\sqrt{x}}$

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