معادلات ماكسويل

قوانين مكسويل عبارة عن مجموعة من أربع معادلات تصف سلوك وتغيرات الحقلين الكهربائي والمغناطيسي، وتآثراتهما مع المادة وتحولاتهما إلى أشكال أخرى من الطاقة. هذه القوانين من وضع الفيزيائي جيمس ماكسويل .وهذه المعادلات تصف العلاقات المتبادلة بين كل من المجالات الكهربائية والمجالات المغناطيسية والشحنات الكهربائية والتيار الكهربائي.

نص قانون مكسويل في الكهرطيسية: (('إذا انتقلت دارة أو جزء من دارة كهربائية مغلقة ضمن حقل مغناطيسي منتظم فإنها تبذل عملا يساوي شدة التيار الكهربائي المارة فيها في تغير التدفق المغناطيسي الذي يجتازها'))

تاريخيا

كانت هذه المعادلات معروفة من قبل لكن بصيغة مختلفة :

• $\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{D}=\rho$
• $\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{B}=0$
• $\mathrm{\nabla }\times \mathbf{E}=0$
• $\mathrm{\nabla }\times \mathbf{H}=\mathbf{J}$

الدافع وراء نسبة هذه المعادلات إلى ماكسويل رغم أنه ليس هو من وضعها هو اكتشافه وبرهنته على أنها سليمة فقط في حال كان المجال الكهربائي E ساكنا. أي أن المعادلات السابقة هي حالة خاصة ولا تنطبق إلا عندما يكون :

$\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}=0$

قام ماكسويل بافتراض تصحيحات لهذه المعادلات ولم يثبتها في التجربة وقام بتعميمها لتشمل المجالات الكهربية المتغيرة زمنيا مما مهد الطريق لاكتشاف الموجات الكهرومغناطيسية ومعادلتها كما فرض أن الضوء عبارة عن موجة كهرومغناطيسية إضافة إلى أهم ما قام به وهو افتراض وجود تيار يسري في العوازل أطلق عليه مسمى تيار الإزاحة.

المعادلات

مسمى المعادلة	الشكل التفاضلي	الشكل التكاملي
قانون غاوس:	$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{D}=\rho$	${\oint }_S\mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=\underset{V}{\int }\rho dV$
قانون غاوس للمغناطيسية :	$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{B}=0$	${\oint }_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}=0$
قانون الحث لفرداي:	$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$	$$\begin{gathered} {\oint }_C\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=- \\ \frac{d}{dt}\underset{S}{\int }\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A} \end{gathered}$$
قانون أمبير مضافا إلى تصحيح ماكسويل:	$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{H}=\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$	${\oint }_C\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=\underset{S}{\int }\mathbf{J}\cdot d\mathbf{A}+\frac{d}{dt}\underset{S}{\int }\mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}$

والجدير بالذكر أن المعادلة الأخيرة هي في الأصل تعديل للقانون الأصلي لأمبير والذي يصف العلاقة بين المجال المغناطيسى والتيارات المنشئة له في صورتها التكاملية ولكن بعد الوضع في الاعتبار تيار الإزاحة---- وقانون أمبير في صورته العامة يوضح أن المجال المغناطيسى يمكن أن ينشأ عن تيار كهربى أو عن مجال كهربى متغير مع الزمن.

الصورة التكاملية لمعادلات ماكسويل في الفراغ

العلاقة الفيزيائية	الظاهرة الطبيعية(الفيزيائية)
قانون جاوس للكهربية	يعبر هذا القنون عن العلاقة بين فيض المجال الكهربى من سطح مغلق والشحنة الموجودة داخل السطح المغلق.
قانون جاوس للمغناطيسية	ويعبر هذا القانون عن الحقيقة التجريبية القائمة حتى الآن وهو عدم وجود شحنة مغناطيسية أو أقطاب مغناطيسية منفردة.
قانون فاراداي	يعبر عن العلاقة بين القوة الدافعة الكهربية ق.د.ك النشئة بالحث في مسار مغلق ومعدل تغير فيض المجال المغناطيسى خلال أي سطح محدود بالمسار المغلق، ويبرهن عدم اعتماد فرق الجهد على المسار الذي يسلكه.
قانون أمبير - ماكسويل(Ampere-Maxwell Law)	يعبر عن العلاقة بين المجال المغناطيسي والتيارات المنشئة له(تيار التوصيل الفعلى وتيار الإزاحة

اشتقاق سرعة الضوء من معادلات ماكسويل

قام ماكسويل بحل هذه المعادلات الأربع للفراغ وتوصل إلى الصلة الوثيقة بين سرعة الموجة الكهرومغناطيسية وبين ثابت العازلية وثابت النفاذية.

يمكن إعادة المعادلات السابقة على افتراض أن الضوء ينتشر في الفراغ حيث لاتوجد أي شحنات كهربائية أي أن $\rho =0$ و$\mathbf{J}=0$ فتصبح بالصورة

• $\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{E}=0$
• $\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{B}=0$
• $\mathrm{\nabla }\times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$
• $\mathrm{\nabla }\times \mathbf{B}={\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$

لإيجاد معادلة الموجة يجب إيجاد المشتقة الثانية في كل من الزمن والفضاء. بداية بأخذ الالتواء لطرفي المعادلة الثالثة وبتعويض النتيجة في المعادلة الرابعة نجد أن

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \mathbf{E})=-\frac{\partial \mathrm{\nabla }\mathbf{\times }\mathbf{B}}{\partial t}$

من نظرية تفاضل المتجه، نعلم أن $\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \mathbf{E})=-{\mathrm{\nabla }}^2\mathbf{E}+\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{E})$

على هذا الأساس تصبح

${\mathrm{\nabla }}^2\mathbf{E}={\mu }_0{ϵ}_0\frac{{\partial }^2\mathbf{E}}{\partial t^2}$

وهذه معادلة موجة في ثلاثة أبعاد، وللتبسيط يمكن دراستها في بعد واحد بالشكل

$\frac{{\partial }^{2}E}{\partial x^2}={\mu }_0{ϵ}_0\frac{{\partial }^{2}E}{\partial t^2}$

بالبحث عن حل للمعادلة الجيبية، بدلالة السرعة $v$ والطول الموجي $\lambda$ يفترض أن تكون

$E=E_{0}sin(2\pi \frac{x-vt}{\lambda })$

بمفاضلة هذه المعادلة مرتين نحصل على

$\frac{{\partial }^{2}E}{\partial x^2}=-E_0{\left(\frac{2\pi }{\lambda }\right)}^{2}sin\left(2\pi \frac{x-vt}{\lambda }\right)$

و

$\frac{{\partial }^{2}E}{\partial t^2}=-E_0{\left(\frac{2\pi v}{\lambda }\right)}^{2}sin\left(2\pi \frac{x-vt}{\lambda }\right)$

بالتعويض عنها مرة أخرى في معادلة الموجة نجد أنها تمثل حلاً شريطة أن

$v^2=\frac{1}{{\mu }_0{ϵ}_0}$

أي أن سرعة الموجة الكهرومغنطيسية هي:

$v=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{ϵ}_0}}$

انظر أيضا

• كهرومغناطيسية
• سماحية الفراغ
• نفاذية الفراغ
• قانون جاوس للمغناطيسية
• قانون فاراداي
• قانون أمبير - ماكسويل
• معادلات آينشتين للمجال

af:Maxwell se vergelykings be-x-old:Раўнаньні Максўэла bg:Уравнения на Максуел bn:ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণসমূহ ca:Equacions de Maxwell cs:Maxwellovy rovnice da:Maxwells ligninger de:Maxwell-Gleichungen el:Εξισώσεις Μάξγουελ Maxwell's equations]] eo:Ekvacioj de Maxwell es:Ecuaciones de Maxwell eu:Maxwellen ekuazioak fa:معادلات ماکسول fi:Maxwellin yhtälöt fr:Équations de Maxwell gl:Ecuacións de Maxwell he:משוואות מקסוול hi:मैक्सवेल के समीकरण hr:Maxwellove jednadžbe hu:Maxwell-egyenletek id:Persamaan Maxwell is:Jöfnur Maxwells it:Equazioni di Maxwell ja:マクスウェルの方程式 ka:მაქსველის განტოლებები kk:Максвелл теңдеуі ko:맥스웰 방정식 la:Aequationes Maxwellianae li:Wètte van Maxwell lt:Maksvelo lygtys lv:Maksvela vienādojumi nl:Wetten van Maxwell nn:Maxwells likningar no:Maxwells likninger pl:Równania Maxwella pt:Equações de Maxwell ro:Ecuațiile lui Maxwell ru:Уравнения Максвелла sh:Maxwellove jednadžbe simple:Maxwell's equations sk:Maxwellove rovnice sl:Maxwellove enačbe sq:Ekuacionet e Maksuellit sr:Максвелове једначине sv:Maxwells ekvationer th:สมการของแมกซ์เวลล์ tr:Maxwell denklemleri uk:Основні рівняння електродинаміки vi:Phương trình Maxwell zh:麦克斯韦方程组