قوانين دي مورجان

تستخدم قوانين أوغست دو مورغان في قواعد المنطق في وصف نتيجة عكس عمليتي الضرب المنطقي(و) and و الجمع المنطقي(أو) or

NOT (P OR Q) = (NOT P) AND (NOT Q)

NOT (P AND Q) = (NOT P) OR (NOT Q)

و عن طريق الإشارات

$\mathrm{\neg }(p\vee q)⟺(\mathrm{\neg }p)\wedge (\mathrm{\neg }q)$

$\mathrm{\neg }(p\wedge q)⟺(\mathrm{\neg }p)\vee (\mathrm{\neg }q)$

حيث أن:

• $\mathrm{\neg }$ علامة تعبر عن النفي المنطقي(لا)(NOT)
• $\wedge$ علامة تعبر عن الضرب المنطقي (و)(AND)
• $\vee$ علامة تعبر عن الجمع المنطقي(أو)(OR)
• $⟺$ علامة تعني متساويان منطقيا (إذا و فقط إذا)

وفي قوانيين الجبر البولييني

ملف:Set intersection.svg

The intersection of A and B

الإتحاد و التقاطع يتبدلان تحت النفي.

$\overline{A\cap B}=\bar{A}\cup \bar{B}$

$\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap \bar{B}.$

حيث أن:

• $\bar{A}$ هي عكس A
• $\cap$ تعبير يدل علي التقاطع(AND)
• $\cup$ تعبير يدل علي الإتحاد(OR)

الإثبات الرياضي لنظرية دي مورجان

$\overline{A\cap B}=\bar{A}\cup \bar{B}$ إذا وفقط إذا $\overline{A\cap B}\subseteq \bar{A}\cup \bar{B}$ و $\overline{A\cap B}\supseteq \bar{A}\cup \bar{B}$.

$x\in \overline{A\cap B}$

$x\notin A\cap B$

$x\notin A$ أو $x\notin B$

$x\in \bar{A}$ أو $x\in \bar{B}$

$x\in \bar{A}\cup \bar{B}$

لذلك $\overline{A\cap B}\subseteq \bar{A}\cup \bar{B}$

$x\in \bar{A}\cup \bar{B}$

$x\in \bar{A}$ أو $x\in \bar{B}$

$x\notin A$ أو $x\notin B$

$x\notin A\cap B$

$x\in \overline{A\cap B}$

لذلك $\overline{A\cap B}\subseteq \bar{A}\cup \bar{B}$

$\overline{A\cap B}\subseteq \bar{A}\cup \bar{B}$ و $\overline{A\cap B}\supseteq \bar{A}\cup \bar{B}$لذلك $\overline{A\cap B}=\bar{A}\cup \bar{B}$

$\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap \bar{B}$ يمكن إثباتها بنفس الطريقة.

ca:Lleis de De Morgan cs:De Morganovy zákony da:De Morgans love de:De Morgan’sche Gesetze De Morgan's laws]] es:Leyes de De Morgan fi:De Morganin lait fr:Lois de De Morgan he:כללי דה מורגן hu:De Morgan-azonosságok is:De Morgan-reglan it:Teoremi di De Morgan ja:ド・モルガンの法則 ko:드 모르간의 법칙 la:Leges De Morgan lt:Dualioji funkcija lv:De Morgana likumi nl:Wetten van De Morgan pl:Prawa De Morgana pt:Teoremas de De Morgan ru:Законы де Моргана sk:De Morganove zákony sv:De Morgans lagar th:กฎเดอมอร์แกน tr:De Morgan yasası uk:Правила де Моргана vi:Luật De Morgan zh:德摩根定律