ضرب المصفوفات

إنّ ضرب المصفوفات في الرياضيات تشير إلى عملية ضرب مصفوفة ما بعدد أو بمصفوفة أخرى.

ضرب المصفوفات العادي

عملية الضرب العادية المذكورة هنا هي الأكثر شيوعًا لدى استخدام المصفوفات وأكثرها أهميّة. عملية الضرب هذه تكون معرّفة بين المصفوفة $A$ و$B$ فقط إذا كان عدد أعمدة الأولى مساويًا لعدد الأسطر في الثانية. أي أنّ العملية معرّفة إذا كانت $A$ من درجة $m\times n$، و$B$ من درجة $n\times p$، وتكون مصفوفة حاصل الضرب $C=A\cdot B$ من درجة $m\times p$. ووفق نفس المنطق، فإذا تمّ ضرب سلسلة من المصفوفات ذات درجات $n_1\times n_2$، $n_2\times n_3$ و$n_{k-1}\times n_k$، فإنّ مصفوفة حاصل الضرب ستكون من درجة $n_1\times n_k$. من هنا، فإنّ ضرب المصفوفات ليست عملية تبديلية على الأطلاق، إذ قد لا يكون الضرب معرفًا أصلاً إذا ما استبدلت المصفوفتين.

في العملية $C_{m\times q}=A_{m\times n}\cdot B_{n\times q}$ يتم حساب كل عنصر في مصفوفة حاصل الضرب، بالطريقة الآتية:

$c_{i,j}=\sum _{k=1}^n{a}_{i,k}\cdot b_{k,j}$.

أي أنّه لحساب العنصر الواقع في السطر الـi والعمود j من مصفوفة حاصل الضرب، يجب حساب الجداء الداخلي للمتجهين المكوّنين من السطر الـi من المصفوفة الأولى والعمود j من المصفوفة الثانية. ويقوم الرسم التالي بتوضيح هذه النقطة:

$\stackrel{A_{3\times 4}}{\overbrace{\left[\begin{array}{cccc}\cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ a_{3,1}& a_{3,2}& a_{3,3}& a_{3,4}\\ \end{array}\right]}}\stackrel{B_{4\times 5}}{\overbrace{\left[\begin{array}{ccccc}\cdot & \cdot & \cdot & b_{1,4}& \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & b_{2,4}& \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & b_{3,4}& \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & b_{4,4}& \cdot \\ \end{array}\right]}}=\stackrel{C_{3\times 5}}{\overbrace{\left[\begin{array}{ccccc}\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & c_{3,4}& \cdot \\ \end{array}\right]}}$

إذ يتحقّق:

$c_{3,4}=a_{3,1}\cdot b_{1,4}+a_{3,2}\cdot b_{2,4}+a_{3,3}\cdot b_{3,4}+a_{3,4}\cdot b_{4,4}$

خواص الضرب العادي

• ليست عملية ضرب المصفوفات عملية تبديلية عمومًا، وإن كانت العملية التبديلية معرّفة. أي:

$\mathbf{A}\mathbf{B}\ne \mathbf{B}\mathbf{A}$.

• أحد الاستثنائات بالنسبة للخاصة السابقة هي كون المصفوفتين قطريتين، إذ عندها تكون عملية الضرب تبديلية.

• إذا كانت المصفوفتان A وB مربّعتان، يتحقّق:

$\text{det}\left(\mathbf{A}\mathbf{B}\right)=\text{det}\left(\mathbf{B}\mathbf{A}\right)$

أي أنّ عمليّة حساب محدّد حاصل الضرب هي عملية تبديلية.

• إنّ عملية ضرب المصفوفات هي عملية تجميعية، إذ:

$\left(\mathbf{A}\mathbf{B}\right)\mathbf{C}=\mathbf{A}\left(\mathbf{B}\mathbf{C}\right)$.

• إنّ عملية ضرب المصفوفات هي عملية توزيعية، إذ:

$\mathbf{A}(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{A}\mathbf{B}+\mathbf{A}\mathbf{C}$،

$(\mathbf{A}+\mathbf{B})\mathbf{C}=\mathbf{A}\mathbf{C}+\mathbf{B}\mathbf{C}$

• إذا كانت المصفوفات معرّفة فوق حقل (رياضيات) ما (كحقل الأعداد الطبيعية أو الأعداد المركبة)، فضرب المصفوفات يتلائم مع الضرب مع كمية عددية من الحقل، أي:

$c\left(\mathbf{A}\mathbf{B}\right)=\left(c\mathbf{A}\right)\mathbf{B}=\left(\mathbf{A}c\right)\mathbf{B}=\mathbf{A}\left(c\mathbf{B}\right)=\mathbf{A}\left(\mathbf{B}c\right)=\left(\mathbf{A}\mathbf{B}\right)c$.

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

هذه بذرة مقالة عن الرياضيات تحتاج للنمو والتحسين، فساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

ca:Multiplicació de matrius cs:Násobení matic de:Matrix (Mathematik)#Matrizenmultiplikation Matrix multiplication]] eo:Matrica multipliko es:Multiplicación de matrices fa:ضرب ماتریس fr:Produit matriciel he:כפל מטריצות it:Moltiplicazione di matrici ko:행렬 곱셈 nl:Matrixvermenigvuldiging pl:Mnożenie macierzy pt:Produto de matrizes ru:Умножение матриц zh:矩陣乘法