صيغة دي موافر

صيغة موفير أو موافر moivre تطبق على الكتابة المثلثية للأعداد العقدية وصيغتها:

$(\cos (x)+i\sin (x){)}^n=\cos (nx)+i\sin (nx)$, أو $(e^{ix}{)}^n=e^{inx}$.

الإثبات باستخدام الاستقراء الرياضي

يمكن دراسة ثلاث حالات للصيغة بحيث تحقق الحل.

من أجل n > 0, يمكن الاستعانة ب الاستنتاج الاستقرائي. عند n = 1, تتحقق صحة الحل بشكل بديهي من صيغة أويلر. يفترض أن يظل الحل صحيحا لأي عدد طبيعي، k. أي

${(\cos x+i\sin x)}^k=\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right).$

وبدراسة الحالة n = k + 1:

$\begin{array}{rl}{(\cos x+i\sin x)}^{k+1}& ={(\cos x+i\sin x)}^k(\cos x+i\sin x)\\ & =[\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right)](\cos x+i\sin x)& & \text{(1)}\\ & =\cos \left(kx\right)\cos x-\sin \left(kx\right)\sin x+i[\cos \left(kx\right)\sin x+\sin \left(kx\right)\cos x]\\ & =\cos \left[(k+1)x\right]+i\sin \left[(k+1)x\right]& & \text{(2)}\end{array}$

العلاقة (1) تم استنباطها من فرضية الاستقراء بينما العلاقة (2) من المتطابقات المثلثية. وبالتالي فإن الصيغة صحيحة عند n = k + 1 إذا كانت n = k صحيحة. ويمكن تعميم الصيغة لكل عدد صحيح موجب, n≥1.

اذا كانت n = 0 تظل الصيغة $\cos (0x)+i\sin (0x)=1+i0=1$ صحيحة, ومن المعروف أن $z^0=1$.

إذا كانت n < 0, يمكن تعديل الاختيار على m بحيث يصبح n = −m. وبالتالي

$\begin{array}{rl}{(\cos x+i\sin x)}^n& ={(\cos x+i\sin x)}^{-m}\\ & =\frac{1}{{(\cos x+i\sin x)}^m}\\ & =\frac{1}{(\cos mx+i\sin mx)}\\ & =\cos \left(mx\right)-i\sin \left(mx\right)\\ & =\cos (-mx)+i\sin (-mx)\\ & =\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right).\end{array}$

أي أن العلاقة صحيحة في جميع الأحوال لكل قيم n الصحيحة.

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

هذه بذرة مقالة عن الرياضيات تحتاج للنمو والتحسين، فساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

bn:দ্য মোয়াভ্রের উপপাদ্য ca:Fórmula de De Moivre cs:Moivreova věta cy:Fformwla de Moivre da:De Moivres formel de:Moivrescher Satz De Moivre's formula]] eo:Formulo de de Moivre es:Fórmula de De Moivre fi:De Moivren kaava fr:Formule de De Moivre he:משפט דה-מואבר hi:डी मायवर का प्रमेय hr:De Moivreova formula hu:De Moivre-képlet it:Formula di De Moivre ja:ド・モアブルの定理 ka:მუავრის ფორმულა kk:Муавр формуласы km:រូបមន្តដឺម័រ ko:드 무아브르의 공식 nl:Stelling van De Moivre pl:Wzór de Moivre'a pms:Fórmola ëd De Moivre pt:Fórmula de De Moivre ru:Формула Муавра sl:De Moivreova formula sr:Моаврова формула sv:De Moivres formel ta:டி மாவரின் வாய்ப்பாடு tr:De Moivre formülü uk:Формула Муавра zh:棣莫弗公式