معادلة تفاضلية خطية

في الرياضيات، المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة n هي معادلة من الشكل العام

$p_n(x)y^{(n)}+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots +p_1(x)y^{\prime }+p_0(x)y=q(x)(1)$

حيث $p_i(x)$ و$q(x)$ هي توابع (أو دالات) معلومة وحيث $p_n(x)\ne 0$، و$y(x)$ هو تابع مجهول وايجاد هذا التابع هو بمثابة حل لهذه المعادلة حيث هنا يكمن محور بحث نطرية المعادلات التفاضلية بشكل عام.

عندما $q(x)=0$ تسمى المعادلة بالمتجانسة Homogeneous حيث ايجاد حل المعادلة المتجانسة هو خطوة أولى نحو الحل العام للمعادلة اللامتجانسة.

عندما تكون المعاملات $p_i(x)$ مجرد أعداد نقول أن المعادلة هي ذات معاملات ثابته.

تمثيلات أخرى

أحياناً قد يمثل الشكل العام للمعادلة (1) بطريقة أخرى حيث نستبدل المعامل التفاضلي من الدرجة $i$ بالرمز $D^i$ أي

$y^{(i)}=\frac{d^{i}y}{d{x}^i}=D^{i}y$

وتصبح المعادلة (1) كالتالي

$(p_n(x)D^n+p_{n-1}(x)D^{n-1}+\cdots +p_1(x)D+p_0(x))y=q(x)$

أو $\sum _{i=0}^n{p}_i(x)D^{i}y=q(x)$

حل المعادلة التفاضلية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة

هذه المعادلة هي من الشكل $p_n{y}^{(n)}+p_{n-1}{y}^{(n-11)}+\cdots +p_1{y}^{\prime }+p_{0}y=0$

وتحل باستخدام الوسيط $y=e^{\lambda }$

فنحصل على معادلة جبرية من الشكل $p_n{\lambda }^n+p_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +p_1\lambda +p_0=0$ لها عدد n من الحلول $\lambda =s_0,s_1,\dots ,s_{n-1}$

يقابلها نفس العدد من الحلول للمعادلة التفاضلية

$y_i(x)=e^{s_{i}x}$

من الممكن برهنة أن هذه الحلول مستقلة خطياً. فيكون الحل العام للمعادلة التفاضلية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة من الشكل $y_H(x)=C_0(x)y_0(x)+C_1(x)y_1+\cdots +C_{n-1}(x)y_{n-1}$

حيث$C_i(x)$ قد تكون أعدادا أو دالات.

حل المعادلة التفاضلية اللامتجانسة ذات المعاملات الثابتة

$p_n{y}^{(n)}+p_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +p_1{y}^{\prime }+p_{0}y=q(x)$

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

ca:Equació diferencial lineal cs:Lineární diferenciální rovnice de:Lineare gewöhnliche Differentialgleichung Linear differential equation]] es:Ecuación diferencial lineal fr:Équation différentielle linéaire he:משוואה דיפרנציאלית לינארית it:Equazione differenziale lineare ja:線型微分方程式 pt:Equação diferencial linear ru:Линейное дифференциальное уравнение sk:Obyčajná lineárna diferenciálna rovnica sv:Linjär differentialekvation uk:Лінійне диференціальне рівняння zh:线性微分方程