لوغارتم طبيعي

ملف:Logarithme népérien.png

دالة اللوغاريتم الطبيعي أو النبيري هي دالة اللوغاريتم للأساس e. وهي الدالة الاصلية للدالة $x\mapsto 1/x$ على $]0;+\mathrm{\infty }[$ وتنعدم في 1.نرمز ل هذه الدالة ب Log (عدم الخلط مع log والتي ترمز لدالة اللوغاريتم العشري) أو ln بصفة عامة :

$$\begin{gathered} \mathrm{\forall }x\in {\mathbb{ℝ}}_{+}^{*}, \\ \ln (x)=\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{t}\mathrm{d}t \end{gathered}$$

خاصيات اساسية

اتصال ورتابة دالة اللوغاريتم الطبيعي

نستنتج مما سبق ان الدالة ln معرفة على $]0;+\mathrm{\infty }[$ وقابلة للاشتقاق على هذا المجال و:

$$\begin{gathered} \mathrm{\forall }x\in {\mathbb{ℝ}}_{+}^{*}, \\ {{\ln }^{}}^{\prime }(x)=\frac{1}{x} \end{gathered}$$

و منه الدالة ln متصلة على $]0;+\mathrm{\infty }[$و بما ان مشتقتها موجبة قطعا فانها تزايدية قطعا على $]0;+\mathrm{\infty }[$

عمليات على دالة اللوغاريتم الطبيعي

لتكن f دالة معرفة ب $f(x)=\ln (ax)$ حيث a و x عددان موجبان قطعا. مشتقة هي نفس مشتقة دالة اللوغاريتم الطبيعي اي ان :

$$\begin{gathered} f(x)=\ln (x)+k \\ / \\ k\in \\ R \end{gathered}$$

و بما ان : f(1) =k فان : ln(a)=k اذن وبصفة عامة :

• $$\begin{gathered} \mathrm{\forall }(a;b)\in ]0:+\mathrm{\infty }{[}^2, \\ \ln (ab)=\ln (a)+\ln (b) \end{gathered}$$

من هذه الخاصية نستنتج الخاصيات التالية :

• $$\begin{gathered} \mathrm{\forall }(a;b)\in ]0:+\mathrm{\infty }{[}^2, \\ \ln \left(\frac{a}{b}\right)=\ln (a)-\ln (b) \end{gathered}$$
• $$\begin{gathered} \mathrm{\forall }a\in ]0;+\mathrm{\infty }[, \\ \mathrm{\forall }n\in \mathbb{\mathbb{Z}}, \\ \ln (a^n)=n\ln (a) \end{gathered}$$
• $$\begin{gathered} \mathrm{\forall }a\in ]0;+\mathrm{\infty }[, \\ \mathrm{\forall }r\in \mathbb{\mathbb{Q}}, \\ \ln (a^r)=r\ln (a) \end{gathered}$$*
• $$\begin{gathered} \mathrm{\forall }(a_1,a_2,....,a_k)\in ]0:+\mathrm{\infty }{[}^k, \\ \sum _{n=1}^{k}ln(a_n)=ln(\prod _{n=1}^k{a}_n) \end{gathered}$$

انظر أيضا

• لوغارتم عشري

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

هذه بذرة مقالة عن الرياضيات تحتاج للنمو والتحسين، فساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

bg:Естествен логаритъм br:Logaritm neperian bs:Prirodni logaritam ca:Logaritme natural da:Naturlig logaritme de:Logarithmus#Natürlicher Logarithmus und andere spezielle Logarithmen Natural logarithm]] es:Logaritmo natural et:Naturaallogaritm fa:لگاریتم طبیعی fr:Logarithme naturel he:לוגריתם טבעי id:Logaritma natural it:Logaritmo naturale ja:自然対数 ka:ნატურალური ლოგარითმი ko:자연로그 lt:Natūrinis logaritmas lv:Naturālais logaritms mk:Природен логаритам ms:Logaritma asli nl:Natuurlijke logaritme no:Naturlig logaritme pl:Logarytm naturalny pms:Logaritm ëd Napier pt:Logaritmo natural ru:Натуральный логарифм sr:Природни логаритам th:ลอการิทึมธรรมชาติ zh:自然對數