حذف غاوسي

في الجبر الخطي، يكون الحذف الغاوسي - Gaussian elimination خواريزمية مفيدة لحل منظومات من المعادلات الخطية، إيجاد رتبة مصفوفة، وحساب معكوس مصفوفة مربعة انعكاسية. تم إعطاء هذا الاسم تقديرا للرياضياتي والعالم الألماني كارل فريدريك غاوس. يتم تطبيق عمليات الصف الأساسية لتخفيض المصفوفة على صورة مصفوفة مثلثية. يمكن تعميم هذه الخواريزمية باستخدام خذف غاوس جوردان، لتخفيض المصفوفة إلى صورة مصفوفة مثلثية مخفضة ومع ذلك فإن استعمال الحذف الغاوسي بمفرده كاف لأي تطبيق.

مثال

لنفرض ان الغرض هو إيجاد ووصف الحل أو الحلول الممكنة إذا كان أي من نظام المعادلات الخطية التالية:

$\begin{array}{rlr}2x+y-z& =8& (L_1)\\ -3x-y+2z& =-11& (L_2)\\ -2x+y+2z& =-3& (L_3)\end{array}$

تكون الخوارزمية كما يلي: إعزل $x$ عن جميع المعادلات تحت $L_1$, ومن ثم إعزل $y$ عن جميع المعادلات تحت $L_2$. هذا سيجعل النظام على صورة مثلثية. حينئذ، باستعمال التعويض الخلفي، يمكن حل كل واحدة غير معلومة.

في هذا المثال سوف يتم عزل $x$ عن$L_2$ بإضافة $\begin{array}{c}\frac{3}{2}\end{array}{L}_1$ إلى $L_2$, كما يتم عزل $x$ عن $L_3$ بإضافة $L_1$ إلى $L_3$. بشكل رسمي:

$L_2+\frac{3}{2}{L}_1\to L_2$

$L_3+L_1\to L_3$

والنتيجة تكون:

$2x+y-z=8$

$\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=1$

$2y+z=5$

والان بعزل $y$ عن $L_3$ بإضافة $-4L_2$ إلى$L_3$:

$L_3+-4L_2\to L_3$

تصبح النتيجة:

$2x+y-z=8$

$\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=1$

$-z=1$

هذه النتيجة هي نظام معادلات خطية بالصورة المثلثية، وبالتالي يكون الجزء الأول من الخوارزمية قد اكتمل.

القسم الثاني وهو التعويض الخلفي يتكون من حل المجاهيل في ترتيب عكسي. وعليه يمكن بسهولة ملاحظة أن

$z=-1(L_3)$

وعليه, $z$ يمكن تعويضها في $L_2$, والتي يمكن حلها بسهولة لإيجاد

$y=3(L_2)$

ثانيا, $z$ و$y$ يمكن تعويضها $L_1$, والتي يمكن حلها لإيجاد

$x=2(L_1)$

وبالتالي تم حل النظام.

إنظر أيضاً

• معادلة خطية
• حذف غاوس-جوردان

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

ملف:Nuvola apps edu mathematics-ar.svg

هذه بذرة مقالة عن الرياضيات تحتاج للنمو والتحسين، فساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.

als:Gaußsches Eliminationsverfahren ca:Mètode de reducció de Gauss cs:Gaussova eliminační metoda de:Gaußsches Eliminationsverfahren Gaussian elimination]] eo:Gaŭsa eliminado es:Eliminación de Gauss-Jordan eu:Gauss-Jordan algoritmo fa:حذف گاوسی fi:Gaussin algoritmi fr:Élimination de Gauss-Jordan he:דירוג מטריצות hu:Gauss-elimináció is:Gauß-eyðing it:Metodo di eliminazione di Gauss ja:ガウスの消去法 ko:가우스 소거법 nl:Gauss-eliminatie pl:Metoda Gaussa pt:Eliminação de Gauss ru:Метод Гаусса sh:Gaussova eliminacijska metoda si:ගවුසීය බැහැරීම sl:Gaussova eliminacijska metoda sv:Gausselimination uk:Метод Гауса ur:گاسین اخراج vi:Phép khử Gauss zh:高斯消去法